Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1149

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти

y'

y''

, если:

y^2+2\ln y=x^4.

Решение

Продифференцируем обе части заданного уравнения по

x

, учитывая, что

y

является неявной функцией от

x

2yy' + 2\frac{y'}{y} = 4x^3

Вынесем

2y'

за скобки и выразим первую производную:

2y'\left(y + \frac{1}{y}\right) = 4x^3\implies y'\left(\frac{y^2+1}{y}\right) = 2x^3\implies y' = \frac{2x^3y}{y^2+1}

Для нахождения второй производной продифференцируем полученное выражение для

y'

по

x

, используя правило дифференцирования дроби:

y'' = \left( \frac{2x^3y}{y^2+1} \right)' = \frac{(2x^3y)'(y^2+1) - 2x^3y(y^2+1)'}{(y^2+1)^2}

Найдём производные выражений в числителе:

\begin{aligned}(2x^3y)' &= 6x^2y + 2x^3y', \\(y^2+1)' &= 2yy'.\end{aligned}

Подставим их в формулу для второй производной:

y'' = \frac{(6x^2y + 2x^3y')(y^2+1) - 2x^3y(2yy')}{(y^2+1)^2} = \frac{6x^2y(y^2+1) + 2x^3y'(y^2+1) - 4x^3y^2y'}{(y^2+1)^2}

Вынесем

2x^3y'

из последних двух слагаемых числителя:

y'' = \frac{6x^2y(y^2+1) + 2x^3y'(y^2+1 - 2y^2)}{(y^2+1)^2} = \frac{6x^2y(y^2+1) + 2x^3y'(1 - y^2)}{(y^2+1)^2}

Теперь подставим ранее найденное выражение

y' = \frac{2x^3y}{y^2+1}

y'' = \frac{6x^2y(y^2+1) + 2x^3\left(\frac{2x^3y}{y^2+1}\right)(1 - y^2)}{(y^2+1)^2} = \frac{6x^2y(y^2+1)^2 + 4x^6y(1 - y^2)}{(y^2+1)^3}.

Проверка

Логарифм требует

y>0

. Функция

H(y)=y^2+2\ln y

непрерывна и строго возрастает на

(0,+\infty)

как сумма двух строго возрастающих функций; её пределы равны

-\infty

+\infty

. Поэтому уравнение

H(y)=x^4

определяет единственное положительное

y

при любом

x

. Кроме того,

H'(y)=2y+2/y>0

, и правило производной обратной функции обосновывает дифференцирование. Знаменатель

y^2+1

всегда положителен.