Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1144

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти производные

y'_x

y''_{xx}

y'''_{xxx}

функции, заданной параметрически:

x=f'(t),\qquad y=tf'(t)-f(t).

Решение

Найдём производные по параметру

t

\begin{aligned}x'_t &= f''(t) \\y'_t &= f'(t) + tf''(t) - f'(t) = tf''(t)\end{aligned}

Тогда первая производная (при

f''(t) \ne 0

y'_x = \frac{tf''(t)}{f''(t)} = t

Вторая производная:

y''_{xx} = \frac{(t)'_t}{f''(t)} = \frac{1}{f''(t)}

Третья производная:

y'''_{xxx} = \frac{\left( \frac{1}{f''(t)} \right)'_t}{f''(t)} = \frac{-\frac{f'''(t)}{(f''(t))^2}}{f''(t)} = -\frac{f'''(t)}{(f''(t))^3}