Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1158

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

y=\sqrt{x};

найти

y^{(10)}

Решение

Идея

Представим функцию в виде

y = x^{1/2}

и найдём выражение для её

n

-й производной

y' = \frac{1}{2}x^{-1/2}

y'' = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)x^{-3/2}

y''' = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)x^{-5/2}

Для произвольного

n \ge 2

производная имеет вид

y^{(n)} = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) \dots \left(\frac{1}{2} - n + 1\right) x^{\frac{1}{2}-n}

Вынесем знак минус из каждой скобки, начиная со второй (всего

n-1

скобок), и запишем числитель через двойной факториал

y^{(n)} = (-1)^{n-1} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2n-3)}{2^n} x^{-(2n-1)/2} = (-1)^{n-1} \frac{(2n-3)!!}{2^n x^{(2n-1)/2}}

Подставим

n = 10

y^{(10)} = (-1)^{9} \frac{(20-3)!!}{2^{10} x^{(20-1)/2}} = -\frac{17!!}{1024 x^{19/2}}