Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1147

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти

y'

y''

y'''

функции, заданной неявно:

y^2=2px.

Решение

Продифференцируем обе части уравнения по

x

2yy' = 2p \implies y' = \frac{p}{y}

Продифференцируем полученное выражение ещё раз по

x

, чтобы найти вторую производную:

y'' = \left( \frac{p}{y} \right)' = -\frac{p}{y^2}y' = -\frac{p}{y^2} \cdot \frac{p}{y} = -\frac{p^2}{y^3}

Найдём третью производную, дифференцируя

y''

по

x

y''' = \left( -p^2 y^{-3} \right)' = -p^2(-3)y^{-4}y' = \frac{3p^2}{y^4} \cdot \frac{p}{y} = \frac{3p^3}{y^5}

Проверка

Для невырожденной параболы

p\ne0

формулы действуют при

y\ne0

. В вершине конечной первой производной нет (№1049). При

p=0

исходное уравнение даёт

y=0

, все производные равны нулю; сокращённые дроби для этого случая не используются.