Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1116

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

y=\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}.

Решение

Идея

Удобнее представить функцию в виде произведения

y = (1-x^2)^{-\frac{1}{2}} \arcsin x

.
Найдём первую производную:

y' = \left( -\frac{1}{2}(1-x^2)^{-\frac{3}{2}}(-2x) \right) \arcsin x + (1-x^2)^{-\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

y' = \frac{x\arcsin x}{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{1-x^2}

Теперь продифференцируем каждое слагаемое для нахождения

y''

\left( \frac{1}{1-x^2} \right)' = \left( (1-x^2)^{-1} \right)' = -(1-x^2)^{-2}(-2x) = \frac{2x}{(1-x^2)^2}

Производная первого слагаемого:

\left( x(1-x^2)^{-\frac{3}{2}} \arcsin x \right)' = \left( x(1-x^2)^{-\frac{3}{2}} \right)' \arcsin x + x(1-x^2)^{-\frac{3}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

Вычислим

\left( x(1-x^2)^{-\frac{3}{2}} \right)'

1 \cdot (1-x^2)^{-\frac{3}{2}} + x \left(-\frac{3}{2}\right)(1-x^2)^{-\frac{5}{2}}(-2x) = \frac{1}{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}} + \frac{3x^2}{(1-x^2)^{\frac{5}{2}}} = \frac{1-x^2+3x^2}{(1-x^2)^{\frac{5}{2}}} = \frac{1+2x^2}{(1-x^2)^{\frac{5}{2}}}

Тогда производная первого слагаемого равна:

\frac{1+2x^2}{(1-x^2)^{\frac{5}{2}}} \arcsin x + \frac{x}{(1-x^2)^2}

Складываем обе части для

y''

y'' = \frac{1+2x^2}{(1-x^2)^{\frac{5}{2}}} \arcsin x + \frac{x}{(1-x^2)^2} + \frac{2x}{(1-x^2)^2} = \frac{1+2x^2}{(1-x^2)^{\frac{5}{2}}} \arcsin x + \frac{3x}{(1-x^2)^2}