Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1116

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти y′′y'', если:

Задача 1116

y=arcsin⁡x1−x2.y=\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}.

Решение

Удобнее представить функцию в виде произведения y=(1−x2)−12arcsin⁡xy = (1-x^2)^{-\frac{1}{2}} \arcsin x.
Найдём первую производную:
y′=(−12(1−x2)−32(−2x))arcsin⁡x+(1−x2)−1211−x2y' = \left( -\frac{1}{2}(1-x^2)^{-\frac{3}{2}}(-2x) \right) \arcsin x + (1-x^2)^{-\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}y′=xarcsin⁡x(1−x2)32+11−x2y' = \frac{x\arcsin x}{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{1-x^2}Теперь продифференцируем каждое слагаемое для нахождения y′′y'':(11−x2)′=((1−x2)−1)′=−(1−x2)−2(−2x)=2x(1−x2)2\left( \frac{1}{1-x^2} \right)' = \left( (1-x^2)^{-1} \right)' = -(1-x^2)^{-2}(-2x) = \frac{2x}{(1-x^2)^2}Производная первого слагаемого:(x(1−x2)−32arcsin⁡x)′=(x(1−x2)−32)′arcsin⁡x+x(1−x2)−3211−x2\left( x(1-x^2)^{-\frac{3}{2}} \arcsin x \right)' = \left( x(1-x^2)^{-\frac{3}{2}} \right)' \arcsin x + x(1-x^2)^{-\frac{3}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}Вычислим (x(1−x2)−32)′\left( x(1-x^2)^{-\frac{3}{2}} \right)':1⋅(1−x2)−32+x(−32)(1−x2)−52(−2x)=1(1−x2)32+3x2(1−x2)52=1−x2+3x2(1−x2)52=1+2x2(1−x2)521 \cdot (1-x^2)^{-\frac{3}{2}} + x \left(-\frac{3}{2}\right)(1-x^2)^{-\frac{5}{2}}(-2x) = \frac{1}{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}} + \frac{3x^2}{(1-x^2)^{\frac{5}{2}}} = \frac{1-x^2+3x^2}{(1-x^2)^{\frac{5}{2}}} = \frac{1+2x^2}{(1-x^2)^{\frac{5}{2}}}Тогда производная первого слагаемого равна:1+2x2(1−x2)52arcsin⁡x+x(1−x2)2\frac{1+2x^2}{(1-x^2)^{\frac{5}{2}}} \arcsin x + \frac{x}{(1-x^2)^2}Складываем обе части для y′′y'':y′′=1+2x2(1−x2)52arcsin⁡x+x(1−x2)2+2x(1−x2)2=1+2x2(1−x2)52arcsin⁡x+3x(1−x2)2y'' = \frac{1+2x^2}{(1-x^2)^{\frac{5}{2}}} \arcsin x + \frac{x}{(1-x^2)^2} + \frac{2x}{(1-x^2)^2} = \frac{1+2x^2}{(1-x^2)^{\frac{5}{2}}} \arcsin x + \frac{3x}{(1-x^2)^2}

Проверка

Формулы применяются при ∣x∣<1|x|<1.