Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5

Демидович § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Условия, ответы и подробные решения задач 1111–1234

Задачи 1111–1234

126 из 126 с разбором

Кинематика и производные заданного порядка

1152–1170

Задача 1161

y=x2e2x;y=x^2e^{2x};найти y(20)y^{(20)}.

Задача 1162

y=exx;y=\frac{e^x}{x};найти y(10)y^{(10)}.

Задача 1163

y=xln⁡x;y=x\ln x;найти y(5)y^{(5)}.

Задача 1164

y=ln⁡xx;y=\frac{\ln x}{x};найти y(5)y^{(5)}.

Задача 1165

y=x2sin⁡2x;y=x^2\sin 2x;найти y(50)y^{(50)}.

Задача 1166

y=cos⁡3x1−3x3;y=\frac{\cos 3x}{\sqrt[3]{1-3x}};найти y′′′y'''.

Задача 1167

y=sin⁡xsin⁡2xsin⁡3x;y=\sin x\sin 2x\sin 3x;найти y(10)y^{(10)}.

Задача 1168

y=xsh⁡x;y=x\operatorname{sh}x;найти y(100)y^{(100)}.

Задача 1169

y=excos⁡x;y=e^x\cos x;найти yIVy^{\mathrm{IV}}.

Задача 1170

y=sin⁡2xln⁡x;y=\sin^2x\ln x;найти y(6)y^{(6)}.

Дифференциалы заданного порядка

1171–1180

Задача 1171

y=x5;y=x^5;найти d5yd^5y

Задача 1172

y=1x;y=\frac1{\sqrt{x}};найти d3yd^3y

Задача 1173

y=xcos⁡2x;y=x\cos 2x;найти d10yd^{10}y

Задача 1174

y=exln⁡x;y=e^x\ln x;найти d4yd^4y

Задача 1175

y=cos⁡x⋅ch⁡x;y=\cos x\cdot\operatorname{ch}x;найти d6yd^6y

Задача 1176

y=u2;y=u^2;найти d10yd^{10}y.

Задача 1177

y=eu;y=e^u;найти d4yd^4y.

Задача 1178

y=ln⁡u;y=\ln u;найти d3yd^3y.

Задача 1179

Найти d2yd^2y, d3yd^3y и d4yd^4y от функции y=f(x)y=f(x), считая xx функцией от некоторой независимой переменной.

Задача 1180

Выразить производные y′′y'' и y′′′y''' от функции y=f(x)y=f(x) через последовательные дифференциалы переменных xx, yy, не предполагая xx независимой переменной.

Проверка решений дифференциальных уравнений

1181–1185

Задача 1181

y=C1cos⁡x+C2sin⁡xy=C_1\cos x+C_2\sin x

Задача 1182

y=C1ch⁡x+C2sh⁡xy=C_1\operatorname{ch}x+C_2\operatorname{sh}x

Задача 1183

y=C1eλ1x+C2eλ2xy=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}

Задача 1184

y=xn[C1cos⁡(ln⁡x)+C2sin⁡(ln⁡x)]y=x^n[C_1\cos(\ln x)+C_2\sin(\ln x)]

Задача 1185

y=ex2(C1cos⁡x2+C2sin⁡x2)+e−x2(C3cos⁡x2+C4sin⁡x2)y=e^{\frac{x}{\sqrt2}}\left(C_1\cos\frac{x}{\sqrt2}+C_2\sin\frac{x}{\sqrt2}\right)
+e^{-\frac{x}{\sqrt2}}\left(C_3\cos\frac{x}{\sqrt2}+C_4\sin\frac{x}{\sqrt2}\right)

Производные n-го порядка

1186–1210

Задача 1186

Доказать, что если функция f(x)f(x) имеет производную nn-го порядка, то[f(ax+b)](n)=anf(n)(ax+b).[f(ax+b)]^{(n)}=a^nf^{(n)}(ax+b).

Задача 1187

Найти P(n)(x)P^{(n)}(x), еслиP(x)=a0xn+a1xn−1+⋯+an.P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n.

Задача 1188

y=ax+bcx+dy=\frac{ax+b}{cx+d}

Задача 1189

y=1x(1−x)y=\frac1{x(1-x)}

Задача 1190

y=1x2−3x+2y=\frac1{x^2-3x+2}

Задача 1191

y=11−2xy=\frac1{\sqrt{1-2x}}

Задача 1192

y=x1+x3y=\frac{x}{\sqrt[3]{1+x}}

Задача 1193

y=sin⁡2xy=\sin^2x

Задача 1194

y=cos⁡2xy=\cos^2x

Задача 1195

y=sin⁡3xy=\sin^3x

Задача 1196

y=cos⁡3xy=\cos^3x

Задача 1197

y=sin⁡axsin⁡bxy=\sin ax\sin bx

Задача 1198

y=cos⁡axcos⁡bxy=\cos ax\cos bx

Задача 1199

y=sin⁡axcos⁡bxy=\sin ax\cos bx

Задача 1200

y=sin⁡2axcos⁡bxy=\sin^2ax\cos bx

Задача 1201

y=sin⁡4x+cos⁡4xy=\sin^4x+\cos^4x

Задача 1202

y=xcos⁡axy=x\cos ax

Задача 1203

y=x2sin⁡axy=x^2\sin ax

Задача 1204

y=(x2+2x+2)e−xy=(x^2+2x+2)e^{-x}

Задача 1205

y=exxy=\frac{e^x}{x}

Задача 1206

y=excos⁡xy=e^x\cos x

Задача 1207

y=exsin⁡xy=e^x\sin x

Задача 1208

y=ln⁡a+bxa−bxy=\ln\frac{a+bx}{a-bx}

Задача 1209

y=eaxP(x)y=e^{ax}P(x)

Задача 1210

y=xsh⁡xy=x\operatorname{sh}x

Задачи 51–100 из 126