Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5

Демидович § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Условия, ответы и подробные решения задач 1111–1234

Задачи 1111–1234

126 из 126 с разбором

Кинематика и производные заданного порядка

1152–1170

Задача 1161

y=x^2e^{2x};

найти

y^{(20)}

Задача 1162

y=\frac{e^x}{x};

найти

y^{(10)}

Задача 1163

y=x\ln x;

найти

y^{(5)}

Задача 1164

y=\frac{\ln x}{x};

найти

y^{(5)}

Задача 1165

y=x^2\sin 2x;

найти

y^{(50)}

Задача 1166

y=\frac{\cos 3x}{\sqrt[3]{1-3x}};

найти

y'''

Задача 1167

y=\sin x\sin 2x\sin 3x;

найти

y^{(10)}

Задача 1168

y=x\operatorname{sh}x;

найти

y^{(100)}

Задача 1169

y=e^x\cos x;

найти

y^{\mathrm{IV}}

Задача 1170

y=\sin^2x\ln x;

найти

y^{(6)}

Дифференциалы заданного порядка

1171–1180

Считая

x

независимой переменной, найти дифференциал указанного порядка:

Задача 1171

y=x^5;

найти

d^5y

Задача 1172

y=\frac1{\sqrt{x}};

найти

d^3y

Задача 1173

y=x\cos 2x;

найти

d^{10}y

Задача 1174

y=e^x\ln x;

найти

d^4y

Задача 1175

y=\cos x\cdot\operatorname{ch}x;

найти

d^6y

Найти дифференциал указанного порядка, если

u

— функция от

x

, дифференцируемая достаточное число раз:

Задача 1176

y=u^2;

найти

d^{10}y

Задача 1177

y=e^u;

найти

d^4y

Задача 1178

y=\ln u;

найти

d^3y

Задача 1179

Найти

d^2y

d^3y

d^4y

от функции

y=f(x)

, считая

x

функцией от некоторой независимой переменной.

Задача 1180

Выразить производные

y''

y'''

от функции

y=f(x)

через последовательные дифференциалы переменных

x

y

, не предполагая

x

независимой переменной.

Проверка решений дифференциальных уравнений

1181–1185

Задача 1181

Показать, что функция

y=C_1\cos x+C_2\sin x

где

C_1,C_2

— произвольные постоянные, удовлетворяет уравнению

y''+y=0.

Задача 1182

Показать, что функция

y=C_1\operatorname{ch}x+C_2\operatorname{sh}x

где

C_1,C_2

— произвольные постоянные, удовлетворяет уравнению

y''-y=0.

Задача 1183

Показать, что функция

y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}

где

C_1,C_2

— произвольные постоянные, а

\lambda_1,\lambda_2

— постоянные, удовлетворяет уравнению

y''-(\lambda_1+\lambda_2)y'+\lambda_1\lambda_2y=0.

Задача 1184

Показать, что функция

y=x^n[C_1\cos(\ln x)+C_2\sin(\ln x)]

где

C_1,C_2

— произвольные постоянные, а

n

— постоянная, удовлетворяет уравнению

x^2y''+(1-2n)xy'+(1+n^2)y=0.

Задача 1185

Показать, что функция

y=e^{\frac{x}{\sqrt2}}\left(C_1\cos\frac{x}{\sqrt2}+C_2\sin\frac{x}{\sqrt2}\right)+e^{-\frac{x}{\sqrt2}}\left(C_3\cos\frac{x}{\sqrt2}+C_4\sin\frac{x}{\sqrt2}\right)

где

C_1,C_2,C_3,C_4

— произвольные постоянные, удовлетворяет уравнению

y^{(4)}+y=0.

Производные n-го порядка

1186–1210

Задача 1186

Доказать, что если функция

f(x)

имеет производную

n

-го порядка, то

[f(ax+b)]^{(n)}=a^nf^{(n)}(ax+b).

Задача 1187

Найти

P^{(n)}(x)

, если

P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n.

Найти

y^{(n)}

, если:

Задача 1188

y=\frac{ax+b}{cx+d}

Задача 1189

y=\frac1{x(1-x)}

Задача 1190

y=\frac1{x^2-3x+2}

Задача 1191

y=\frac1{\sqrt{1-2x}}

Задача 1192

y=\frac{x}{\sqrt[3]{1+x}}

Задача 1193

y=\sin^2x

Задача 1194

y=\cos^2x

Задача 1195

y=\sin^3x

Задача 1196

y=\cos^3x

Задача 1197

y=\sin ax\sin bx

Задача 1198

y=\cos ax\cos bx

Задача 1199

y=\sin ax\cos bx

Задача 1200

y=\sin^2ax\cos bx

Задача 1201

y=\sin^4x+\cos^4x

Задача 1202

y=x\cos ax

Задача 1203

y=x^2\sin ax

Задача 1204

y=(x^2+2x+2)e^{-x}

Задача 1205

y=\frac{e^x}{x}

Задача 1206

y=e^x\cos x

Задача 1207

y=e^x\sin x

Задача 1208

y=\ln\frac{a+bx}{a-bx}

Задача 1209

y=e^{ax}P(x)

где

P(x)

— многочлен.

Задача 1210

y=x\operatorname{sh}x

Задачи 51–100 из 126