Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1130

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти

d^2y

для функции

y=e^x

в двух случаях:

а)

x

— независимая переменная;

б)

x

— промежуточный аргумент.

Решение

Идея

По определению первого дифференциала имеем:

dy = y' dx = e^x dx

Второй дифференциал определяется как дифференциал от первого дифференциала:

d^2y = d(dy)

1
Пункт а)
Если $x$ — независимая переменная, то её дифференциал $dx$ является константой (приращением $\Delta x$ , не зависящим от $x$ ). Следовательно, при повторном дифференцировании $dx$ выносится за знак дифференциала как постоянный множитель, а $d(dx) = d^2x = 0$ . $d^2y = d(e^x dx) = d(e^x) \cdot dx = (e^x dx) \cdot dx = e^x dx^2$
2
Пункт б)
Если $x$ — промежуточный аргумент (то есть $x$ является функцией от некоторой другой переменной $t$ ), то $dx$ уже не является константой, а зависит от $t$ . В этом случае необходимо применять правило дифференцирования произведения: $d^2y = d(e^x dx) = d(e^x) \cdot dx + e^x \cdot d(dx)$ $d^2y = (e^x dx) \cdot dx + e^x d^2x = e^x dx^2 + e^x d^2x = e^x(dx^2 + d^2x)$