Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1130

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1130

Найти d2yd^2y для функцииy=exy=e^xв двух случаях:

а) xx — независимая переменная;

б) xx — промежуточный аргумент.
Ответ:а) d2y=ex(dx)2d^2y=e^x(dx)^2.

б) d2y=ex((dx)2+d2x)d^2y=e^x\bigl((dx)^2+d^2x\bigr).

Решение

Первый дифференциал равен dy=ex dxdy=e^x\,dx. Чтобы найти второй, ещё раз применим операцию дифференцирования. При этом важно, является ли xx независимой переменной.

Пункт а)

Если xx — независимая переменная, её приращение dxdx при повторном дифференцировании сохраняем постоянным. Поэтому d2x=d(dx)=0d^2x=d(dx)=0 иd2y=d(ex dx)=ex(dx)2.d^2y=d(e^x\,dx)=e^x(dx)^2.

Пункт б)

Пусть x=x(t)x=x(t) — дважды дифференцируемая функция независимой переменной tt. При постоянном dtdt имеемdx=x′(t) dt,d2x=x′′(t)(dt)2.dx=x'(t)\,dt,\qquad d^2x=x''(t)(dt)^2.В общем случае dxdx зависит от tt, поэтому при дифференцировании ex dxe^x\,dx используем правило произведения:d2y=d(ex) dx+ex d(dx)=ex((dx)2+d2x).d^2y=d(e^x)\,dx+e^x\,d(dx)
=e^x\bigl((dx)^2+d^2x\bigr).Здесь (dx)2(dx)^2 — квадрат первого дифференциала, а d2xd^2x — второй дифференциал; это разные выражения.