Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1135

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

y=\frac uv.

Решение

Найдём первый дифференциал дроби:

dy = \frac{v\,du - u\,dv}{v^2}

Найдём второй дифференциал, применяя правило дифференцирования частного к полученному выражению:

d^2y = d\left( \frac{v\,du - u\,dv}{v^2} \right) = \frac{d(v\,du - u\,dv)v^2 - (v\,du - u\,dv)d(v^2)}{v^4}

Вычислим дифференциалы в числителе по отдельности.
Дифференциал скобки:

d(v\,du - u\,dv) = (dv\,du + v\,d^2u) - (du\,dv + u\,d^2v) = v\,d^2u - u\,d^2v

Дифференциал знаменателя:

d(v^2) = 2v\,dv

Подставим найденные выражения обратно в дробь:

d^2y = \frac{(v\,d^2u - u\,d^2v)v^2 - 2v\,dv(v\,du - u\,dv)}{v^4}

Сократим числитель и знаменатель на

v

d^2y = \frac{v(v\,d^2u - u\,d^2v) - 2dv(v\,du - u\,dv)}{v^3}