Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1132

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Считая

x

независимой переменной, найти

d^2y

, если:

y=\frac{\ln x}{x}.

Ответ:

d^2y=\frac{2\ln x-3}{x^3}(dx)^2,\qquad x>0.

Решение

Формула для второго дифференциала:

d^2y = y'' dx^2

.
Найдём первую производную:

y' = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}

Найдём вторую производную:

y'' = \frac{\left(-\frac{1}{x}\right) \cdot x^2 - (1 - \ln x) \cdot 2x}{(x^2)^2} = \frac{-x - 2x + 2x \ln x}{x^4}

y'' = \frac{x(2\ln x - 3)}{x^4} = \frac{2\ln x - 3}{x^3}

Запишем искомый второй дифференциал:

d^2y = \frac{2\ln x - 3}{x^3} dx^2

Проверка

Формулы применяются при

x>0