Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1143

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

x=e^t\cos t,\qquad y=e^t\sin t.

Решение

Дифференцируем по

t

\begin{aligned}x'_t &= e^t\cos t - e^t\sin t = e^t(\cos t - \sin t), \\y'_t &= e^t\sin t + e^t\cos t = e^t(\sin t + \cos t).\end{aligned}

Первая производная:

y'_x = \frac{e^t(\sin t + \cos t)}{e^t(\cos t - \sin t)} = \frac{\sin t + \cos t}{\cos t - \sin t}

Найдём вторую производную:

y''_{xx}\mathrel{=}

Для третьей производной сначала дифференцируем числитель по

t

\left( 2e^{-t}(\cos t - \sin t)^{-3} \right)'_t\mathrel{=}

Разделим полученный результат на

x'_t

y'''_{xxx} = \frac{4e^{-t}(\cos t + 2\sin t)(\cos t - \sin t)^{-4}}{e^t(\cos t - \sin t)} = \frac{4(\cos t + 2\sin t)}{e^{2t}(\cos t - \sin t)^5}