Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1143

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти производные yx′y'_x, yxx′′y''_{xx} и yxxx′′′y'''_{xxx} функции, заданной параметрически:

Задача 1143

x=etcos⁡t,y=etsin⁡t.x=e^t\cos t,
\qquad y=e^t\sin t.

Решение

Дифференцируем по tt:xt′=etcos⁡t−etsin⁡t=et(cos⁡t−sin⁡t),yt′=etsin⁡t+etcos⁡t=et(sin⁡t+cos⁡t).\begin{aligned}
x'_t &= e^t\cos t - e^t\sin t = e^t(\cos t - \sin t), \\
y'_t &= e^t\sin t + e^t\cos t = e^t(\sin t + \cos t).
\end{aligned}Первая производная:yx′=et(sin⁡t+cos⁡t)et(cos⁡t−sin⁡t)=sin⁡t+cos⁡tcos⁡t−sin⁡ty'_x = \frac{e^t(\sin t + \cos t)}{e^t(\cos t - \sin t)} = \frac{\sin t + \cos t}{\cos t - \sin t}Найдём вторую производную:yxx′′=\displaystyle y''_{xx}\mathrel{=}(sin⁡t+cos⁡tcos⁡t−sin⁡t)t′et(cos⁡t−sin⁡t)=\displaystyle \frac{\left( \frac{\sin t + \cos t}{\cos t - \sin t} \right)'_t}{e^t(\cos t - \sin t)}\mathrel{=}(cos⁡t−sin⁡t)(cos⁡t−sin⁡t)−(sin⁡t+cos⁡t)(−sin⁡t−cos⁡t)(cos⁡t−sin⁡t)2et(cos⁡t−sin⁡t)=\displaystyle \frac{\frac{(\cos t - \sin t)(\cos t - \sin t) - (\sin t + \cos t)(-\sin t - \cos t)}{(\cos t - \sin t)^2}}{e^t(\cos t - \sin t)}\mathrel{=}(cos⁡t−sin⁡t)2+(cos⁡t+sin⁡t)2(cos⁡t−sin⁡t)2et(cos⁡t−sin⁡t)=\displaystyle \frac{\frac{(\cos t - \sin t)^2 + (\cos t + \sin t)^2}{(\cos t - \sin t)^2}}{e^t(\cos t - \sin t)}\mathrel{=}2(cos⁡t−sin⁡t)2et(cos⁡t−sin⁡t)=\displaystyle \frac{\frac{2}{(\cos t - \sin t)^2}}{e^t(\cos t - \sin t)}\mathrel{=}2et(cos⁡t−sin⁡t)3\displaystyle \frac{2}{e^t(\cos t - \sin t)^3}Для третьей производной сначала дифференцируем найденную вторую производную по tt:(2e−t(cos⁡t−sin⁡t)−3)t′=\displaystyle \left( 2e^{-t}(\cos t - \sin t)^{-3} \right)'_t\mathrel{=}−2e−t(cos⁡t−sin⁡t)−3+2e−t(−3)(cos⁡t−sin⁡t)−4(−sin⁡t−cos⁡t)=\displaystyle -2e^{-t}(\cos t - \sin t)^{-3} + 2e^{-t}(-3)(\cos t - \sin t)^{-4}(-\sin t - \cos t)\mathrel{=}2e−t(cos⁡t−sin⁡t)−4[−(cos⁡t−sin⁡t)+3(sin⁡t+cos⁡t)]=\displaystyle 2e^{-t}(\cos t - \sin t)^{-4} \left[ -(\cos t - \sin t) + 3(\sin t + \cos t) \right]\mathrel{=}2e−t(cos⁡t−sin⁡t)−4(2cos⁡t+4sin⁡t)=\displaystyle 2e^{-t}(\cos t - \sin t)^{-4} (2\cos t + 4\sin t)\mathrel{=}4e−t(cos⁡t+2sin⁡t)(cos⁡t−sin⁡t)−4\displaystyle 4e^{-t}(\cos t + 2\sin t)(\cos t - \sin t)^{-4}Разделим полученный результат на xt′x'_t:yxxx′′′=4e−t(cos⁡t+2sin⁡t)(cos⁡t−sin⁡t)−4et(cos⁡t−sin⁡t)=4(cos⁡t+2sin⁡t)e2t(cos⁡t−sin⁡t)5y'''_{xxx} = \frac{4e^{-t}(\cos t + 2\sin t)(\cos t - \sin t)^{-4}}{e^t(\cos t - \sin t)} = \frac{4(\cos t + 2\sin t)}{e^{2t}(\cos t - \sin t)^5}

Проверка

Формулы применяются при cos⁡t−sin⁡t≠0\cos t-\sin t\ne0.