Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1125

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Пусть

f

— трижды дифференцируемая функция. Найти

y''

y'''

, если:

y=f(x^2).

Решение

Для нахождения производных сложной функции применим цепное правило. Найдём первую производную:

y' = f'(x^2) \cdot (x^2)' = 2x f'(x^2)

Продифференцируем полученное выражение ещё раз, используя правило дифференцирования произведения:

y'' = (2x)' f'(x^2) + 2x (f'(x^2))' = 2 f'(x^2) + 2x \cdot f''(x^2) \cdot 2x = 4x^2 f''(x^2) + 2 f'(x^2)

Найдём третью производную, снова применяя правило дифференцирования произведения к первому слагаемому:

y''' = (4x^2)' f''(x^2) + 4x^2 (f''(x^2))' + 2 (f'(x^2))' =

= 8x f''(x^2) + 4x^2 \cdot f'''(x^2) \cdot 2x + 2 f''(x^2) \cdot 2x =

= 8x f''(x^2) + 8x^3 f'''(x^2) + 4x f''(x^2) = 8x^3 f'''(x^2) + 12x f''(x^2)