Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1148

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти

y'

y''

y'''

функции, заданной неявно:

x^2-xy+y^2=1.

Решение

Продифференцируем заданное уравнение по

x

2x - (y + xy') + 2yy' = 0 \implies 2x - y - xy' + 2yy' = 0

Выразим отсюда

y'

y'(2y - x) = y - 2x \implies y' = \frac{y - 2x}{2y - x}

Найдём вторую производную:

y'' = \left( \frac{y - 2x}{2y - x} \right)' = \frac{(y' - 2)(2y - x) - (y - 2x)(2y' - 1)}{(2y - x)^2}

Преобразуем числитель:

\displaystyle (y' - 2)(2y - x) - (y - 2x)(2y' - 1)\mathrel{=}

Подставим выражение для

y'

в числитель:

3\left( x\frac{y - 2x}{2y - x} - y \right) = 3 \cdot \frac{xy - 2x^2 - 2y^2 + xy}{2y - x} = \frac{-6(x^2 - xy + y^2)}{2y - x}

Используя исходное уравнение

x^2 - xy + y^2 = 1

, получаем, что числитель равен

\frac{-6}{2y - x}

. Тогда:

y'' = \frac{\frac{-6}{2y - x}}{(2y - x)^2} = -\frac{6}{(2y - x)^3}.

Найдём третью производную:

y''' = \left( -6(2y - x)^{-3} \right)' = -6(-3)(2y - x)^{-4}(2y' - 1) = \frac{18}{(2y - x)^4}(2y' - 1)

Выразим

2y' - 1

, подставив найденную ранее первую производную:

2y' - 1 = 2\frac{y - 2x}{2y - x} - 1 = \frac{2y - 4x - 2y + x}{2y - x} = -\frac{3x}{2y - x}

Окончательно получаем:

y''' = \frac{18}{(2y - x)^4} \cdot \left( -\frac{3x}{2y - x} \right) = -\frac{54x}{(2y - x)^5}

Проверка

Формулы применяются при

2y-x\ne0

. Чтобы увидеть соответствующие ветви, решим уравнение относительно

y

y=\frac{x\pm\sqrt{4-3x^2}}2,\qquad |x|\leqslant\frac2{\sqrt3}.

На внутренних частях корень положителен, и обе ветви имеют все найденные производные. При

x=\pm2/\sqrt3

y=x/2

производная корня не имеет конечного значения, так что эти концы в формулы не входят.