Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 954

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

Задача 954

y=143ln⁡x2+2−x3x2+2+x3+12arctg⁡x2+2xy=\frac1{4\sqrt3}
\ln\frac{\sqrt{x^2+2}-x\sqrt3}{\sqrt{x^2+2}+x\sqrt3}
+\frac12\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{x^2+2}}x
Ответ:y′=−1x2+2(1−x4),x∈(−1,0)∪(0,1)y'=-\frac1{\sqrt{x^2+2}(1-x^4)},
\qquad x\in(-1,0)\cup(0,1)

Решение

Обозначимs=x2+2s=\sqrt{x^2+2}Логарифм определён, когда s>3∣x∣s>\sqrt3|x|, то есть при ∣x∣<1|x|<1.
Аргумент арктангенса дополнительно требует x≠0x\ne0. ПоэтомуD=(−1,0)∪(0,1)D=(-1,0)\cup(0,1)Так как s′=xss'=\dfrac xs, для первого слагаемого получаем(143ln⁡s−x3s+x3)′=143(s′−3s−3x−s′+3s+3x)=xs′−s2(s2−3x2)=−12s(1−x2)\left(
\frac1{4\sqrt3}\ln\frac{s-x\sqrt3}{s+x\sqrt3}
\right)'
=\frac1{4\sqrt3}\left(\frac{s'-\sqrt3}{s-\sqrt3x}-\frac{s'+\sqrt3}{s+\sqrt3x}\right)
=\frac{xs'-s}{2(s^2-3x^2)}
=-\frac1{2s(1-x^2)}Для второго слагаемого имеем(12arctg⁡sx)′=12(xs′−s)/x21+s2/x2=xs′−s2(x2+s2)=−12s(1+x2)\left(\frac12\operatorname{arctg}\frac sx\right)'
=\frac12\frac{(xs'-s)/x^2}{1+s^2/x^2}
=\frac{xs'-s}{2(x^2+s^2)}
=-\frac1{2s(1+x^2)}Следовательно,y′=−12s(11−x2+11+x2)==−1s(1−x4)=−1x2+2(1−x4)\begin{aligned}
y'&=-\frac1{2s}
\left(\frac1{1-x^2}+\frac1{1+x^2}\right)=\\
&=-\frac1{s(1-x^4)}
=-\frac1{\sqrt{x^2+2}(1-x^4)}
\end{aligned} В обоих вычислениях xs′−s=(x2−s2)/s=−2/sx s'-s=(x^2-s^2)/s=-2/s, s2−3x2=2(1−x2)s^2-3x^2=2(1-x^2) и x2+s2=2(1+x2)x^2+s^2=2(1+x^2).
Демидович № 954 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика