Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 954

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

y=\frac1{4\sqrt3} \ln\frac{\sqrt{x^2+2}-x\sqrt3}{\sqrt{x^2+2}+x\sqrt3} +\frac12\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{x^2+2}}x

Ответ:

y'=-\frac1{\sqrt{x^2+2}(1-x^4)}, \qquad x\in(-1,0)\cup(0,1)

Решение

Проверка

Обозначим

s=\sqrt{x^2+2}

Логарифм определён, когда

s>\sqrt3|x|

, то есть при

|x|<1

.
Аргумент арктангенса дополнительно требует

x\ne0

. Поэтому

D=(-1,0)\cup(0,1)

Так как

s'=\dfrac xs

, для первого слагаемого получаем

\left( \frac1{4\sqrt3}\ln\frac{s-x\sqrt3}{s+x\sqrt3} \right)' =-\frac1{2s(1-x^2)}

Для второго слагаемого имеем

\left(\frac12\operatorname{arctg}\frac sx\right)' =-\frac1{2s(1+x^2)}

Следовательно,

\begin{aligned} y'&=-\frac1{2s} \left(\frac1{1-x^2}+\frac1{1+x^2}\right)=\\ &=-\frac1{s(1-x^4)} =-\frac1{\sqrt{x^2+2}(1-x^4)}\end{aligned}