Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 932

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

y=\ln\left(\arccos\frac1{\sqrt{x}}\right)

Ответ:

y'=\frac1{2x\sqrt{x-1}\,\arccos\dfrac1{\sqrt{x}}}, \qquad x>1

Решение

Идея

Сначала найдём область определения. Выражение

\frac1{\sqrt{x}}

требует

x>0

, а условие существования арккосинуса даёт

\frac1{\sqrt{x}}\leqslant1

, то есть

x\geqslant1

. При

x=1

арккосинус равен нулю, и его логарифм не существует. Если

x>1

, то

Проверка

0<\frac1{\sqrt{x}}<1 \quad\Longrightarrow\quad 0<\arccos\frac1{\sqrt{x}}<\frac\pi2

Следовательно, при

x>1

аргумент логарифма положителен. Поэтому

D_y=(1,+\infty)

Положим

A(x)=\arccos(x^{-\frac12})

. Для

x>1

имеем

\sqrt{1-\frac1x}=\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x}}

, поэтому

A'(x)=\frac1{2x^{\frac32}\sqrt{1-\dfrac1x}} =\frac1{2x\sqrt{x-1}}

Теперь применяем формулу производной логарифма:

y'=\frac{A'(x)}{A(x)} =\frac1{2x\sqrt{x-1}\,\arccos\dfrac1{\sqrt{x}}}