Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 957

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

Задача 957

y=arccos⁡(sin⁡x2−cos⁡x2)y=\arccos(\sin x^2-\cos x^2)
Ответ:y′=−2x(sin⁡x2+cos⁡x2)sin⁡(2x2)y'=-\frac{2x(\sin x^2+\cos x^2)}{\sqrt{\sin(2x^2)}}Формула действует приkπ<x2<kπ+π2,k=0,1,2,…k\pi<x^2<k\pi+\frac\pi2,
\qquad k=0,1,2,\ldotsВ точке x=0x=0 левая и правая производные не совпадают. В остальных
граничных точкахx2=kπ,k=1,2,…x^2=k\pi,
\qquad k=1,2,\ldotsилиx2=kπ+π2,k=0,1,2,…x^2=k\pi+\frac\pi2,
\qquad k=0,1,2,\ldotsконечной производной также нет. Касательные к соответствующим ветвям
вертикальны.

Решение

Идея

Тригонометрические функции здесь применяются к x2x^2:sin⁡x2=sin⁡(x2)cos⁡x2=cos⁡(x2)\sin x^2=\sin(x^2)
\qquad
\cos x^2=\cos(x^2)Положимt=x2t=x^2Условие существования арккосинуса имеет вид∣sin⁡t−cos⁡t∣⩽1|\sin t-\cos t|\leqslant1Так как1−(sin⁡t−cos⁡t)2=sin⁡(2t)1-(\sin t-\cos t)^2=\sin(2t)получаем область определенияD=⋃k=0∞{x:kπ⩽x2⩽kπ+π2}D=\bigcup_{k=0}^{\infty}
\left\{x:k\pi\leqslant x^2\leqslant k\pi+\frac\pi2\right\}Внутри этих промежутков sin⁡(2x2)>0\sin(2x^2)>0, поэтомуy′=−2x(sin⁡x2+cos⁡x2)sin⁡(2x2)y'=-\frac{2x(\sin x^2+\cos x^2)}{\sqrt{\sin(2x^2)}}Точку x=0x=0 необходимо проверить отдельно. При x→0x\to0 получаемy+′(0)=−2y−′(0)=2y'_+(0)=-\sqrt2
\qquad
y'_-(0)=\sqrt2Поэтому при x=0x=0 функция не дифференцируема.
В остальных граничных точках знаменатель производной стремится к нулю,
а числитель имеет ненулевой предел. В этих точках имеются односторонние
вертикальные касательные.
Демидович № 957 — решение и ответ