Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 957

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

Задача 957

y=arccos⁡(sin⁡x2−cos⁡x2)y=\arccos(\sin x^2-\cos x^2)
Ответ:y′=−2x(sin⁡x2+cos⁡x2)sin⁡(2x2)y'=-\frac{2x(\sin x^2+\cos x^2)}{\sqrt{\sin(2x^2)}}Формула действует приkπ<x2<kπ+π2,k=0,1,2,…k\pi<x^2<k\pi+\frac\pi2,
\qquad k=0,1,2,\ldotsВ точке x=0x=0 левая и правая производные не совпадают. В остальных
граничных точкахx2=kπ,k=1,2,…x^2=k\pi,
\qquad k=1,2,\ldotsилиx2=kπ+π2,k=0,1,2,…x^2=k\pi+\frac\pi2,
\qquad k=0,1,2,\ldotsконечной производной также нет. Касательные к соответствующим ветвям
вертикальны.

Решение

Тригонометрические функции здесь применяются к x2x^2:sin⁡x2=sin⁡(x2)cos⁡x2=cos⁡(x2)\sin x^2=\sin(x^2)
\qquad
\cos x^2=\cos(x^2)Положимt=x2t=x^2Условие существования арккосинуса имеет вид∣sin⁡t−cos⁡t∣⩽1|\sin t-\cos t|\leqslant1Так как1−(sin⁡t−cos⁡t)2=sin⁡(2t)1-(\sin t-\cos t)^2=\sin(2t)получаем область определенияD=⋃k=0∞{x:kπ⩽x2⩽kπ+π2}D=\bigcup_{k=0}^{\infty}
\left\{x:k\pi\leqslant x^2\leqslant k\pi+\frac\pi2\right\}Внутри этих промежутков sin⁡(2x2)>0\sin(2x^2)>0, поэтомуy′=−2x(sin⁡x2+cos⁡x2)sin⁡(2x2)y'=-\frac{2x(\sin x^2+\cos x^2)}{\sqrt{\sin(2x^2)}}В точке 00 имеем y(0)=πy(0)=\pi. Положим q=π−y(x)⩾0q=\pi-y(x)\geqslant0. Тогда2sin⁡2(q/2)=1−cos⁡q=1+sin⁡(x2)−cos⁡(x2),2\sin^2(q/2)=1-\cos q=1+\sin(x^2)-\cos(x^2),поэтомуq=2arcsin⁡sin⁡(x2)+1−cos⁡(x2)2.q=2\arcsin\sqrt{\frac{\sin(x^2)+1-\cos(x^2)}2}.Обозначим выражение под знаком арксинуса через zz. При x→0x\to0, x≠0x\ne0,z∣x∣=12(sin⁡(x2)x2+1−cos⁡(x2)x2)⟶12.\frac{z}{|x|}=\sqrt{\frac12\left(\frac{\sin(x^2)}{x^2}+\frac{1-\cos(x^2)}{x^2}\right)}
\longrightarrow\frac1{\sqrt2}.Вторая дробь стремится к нулю, поскольку 1−cos⁡(x2)⩽x4/21-\cos(x^2)\leqslant x^4/2. Отсюда q/∣x∣=2(arcsin⁡z/z)(z/∣x∣)→2q/|x|=2(\arcsin z/z)(z/|x|)\to\sqrt2. Следовательно,y(x)−y(0)x=−q∣x∣sgn⁡x,y+′(0)=−2,y−′(0)=2.\frac{y(x)-y(0)}x=-\frac{q}{|x|}\operatorname{sgn}x,
\qquad y'_+(0)=-\sqrt2,\quad y'_-(0)=\sqrt2.Двусторонней производной в нуле нет.
В каждой ненулевой граничной точке aa внутренний аргумент u(x)=sin⁡(x2)−cos⁡(x2)u(x)=\sin(x^2)-\cos(x^2) равен ±1\pm1, а u′(a)=2a(cos⁡(a2)+sin⁡(a2))≠0u'(a)=2a(\cos(a^2)+\sin(a^2))\ne0. Разностное отношение представим произведениемarccos⁡u(x)−arccos⁡u(a)u(x)−u(a)⋅u(x)−u(a)x−a.\frac{\arccos u(x)-\arccos u(a)}{u(x)-u(a)}
\cdot\frac{u(x)-u(a)}{x-a}.Первый множитель по №828 стремится к −∞-\infty, а второй — к ненулевому числу u′(a)u'(a). Поэтому конечной односторонней производной нет.
Демидович № 957 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика