Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 921

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача, подробное решение и ответ.

Задача 921

y=arcsin⁡(sin⁡x)y=\arcsin(\sin x)
Ответ:y′=(−1)kприkπ−π2<x<kπ+π2,k∈Zy'=(-1)^k
\quad\text{при}\quad
k\pi-\frac\pi2<x<k\pi+\frac\pi2,
\qquad k\in\mathbb ZВ точках x=π2+kπx=\dfrac\pi2+k\pi производная не существует

Решение

Идея

Функция определена при всех x∈Rx\in\mathbb R. По определению
главной ветви арксинусаarcsin⁡u∈[−π2,π2]\arcsin u\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]Для каждого k∈Zk\in\mathbb Z на отрезкеkπ−π2⩽x⩽kπ+π2k\pi-\frac\pi2\leqslant x\leqslant
k\pi+\frac\pi2справедлива формулаarcsin⁡(sin⁡x)=(−1)k(x−kπ)\arcsin(\sin x)=(-1)^k(x-k\pi)Действительно, правая часть принадлежит главному промежутку арксинуса,
а её синус равен sin⁡x\sin x.
Во внутренних точках указанных отрезков получаемy′=(−1)k,kπ−π2<x<kπ+π2y'=(-1)^k,
\qquad
k\pi-\frac\pi2<x<k\pi+\frac\pi2В точкахx=π2+kπ,k∈Zx=\frac\pi2+k\pi,
\qquad
k\in\mathbb Zсоседние линейные участки имеют производные 11 и −1-1, поэтому
производная не существует.
Демидович № 921 — решение и ответ