Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 963

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции:

y=x^{\sqrt{x}},\qquad x>0

Ответ:

y'=x^{\sqrt{x}}\frac{\ln x+2}{2\sqrt{x}},\qquad x>0

Решение

Логарифмируем равенство:

\ln y=\sqrt{x}\,\ln x

Дифференцирование даёт

\frac{y'}y=\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}+\frac1{\sqrt{x}}=\frac{\ln x+2}{2\sqrt{x}}