Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 933

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

y=\ln\frac{x+a}{\sqrt{x^2+b^2}} +\frac{a^2}{b}\operatorname{arctg}\frac xb, \qquad b\ne0

Ответ:При

b\ne0

x>-a

y'=\frac1{x+a}+\frac{a^2-x}{x^2+b^2}

Решение

Идея

Исходная запись требует

b\ne0

. Тогда

\sqrt{x^2+b^2}>0

, а логарифм определён при

x+a>0

. Поэтому

Проверка

D_y=(-a,+\infty)

Логарифм удобно представить в виде разности:

\ln\frac{x+a}{\sqrt{x^2+b^2}} =\ln(x+a)-\frac12\ln(x^2+b^2)

Отсюда

\left(\ln\frac{x+a}{\sqrt{x^2+b^2}}\right)' =\frac1{x+a}-\frac{x}{x^2+b^2}

\left(\operatorname{arctg}\frac xb\right)' =\frac{\dfrac1b}{1+\dfrac{x^2}{b^2}} =\frac{b}{x^2+b^2}

Следовательно,

y'=\frac1{x+a}-\frac{x}{x^2+b^2} +\frac{a^2}{x^2+b^2}

или

y'=\frac1{x+a}+\frac{a^2-x}{x^2+b^2}