Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 958

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

Задача 958

y=arcsin⁡(sin⁡x2)+arccos⁡(cos⁡x2)y=\arcsin(\sin x^2)+\arccos(\cos x^2)
Ответ:При sin⁡x2cos⁡x2≠0\sin x^2\cos x^2\ne0y′=2x(sgn⁡(cos⁡x2)+sgn⁡(sin⁡x2))y'=2x\left(
\operatorname{sgn}(\cos x^2)
+\operatorname{sgn}(\sin x^2)
\right)Кроме того, y′(0)=0y'(0)=0. Приx2=nπ2,n=1,2,3,…x^2=\frac{n\pi}{2},
\qquad n=1,2,3,\ldotsпроизводной нет.

Решение

Идея

Положим t=x2t=x^2. При cos⁡t≠0\cos t\ne0 и sin⁡t≠0\sin t\ne0 имеемddtarcsin⁡(sin⁡t)=sgn⁡(cos⁡t)\frac d{dt}\arcsin(\sin t)=\operatorname{sgn}(\cos t)иddtarccos⁡(cos⁡t)=sgn⁡(sin⁡t)\frac d{dt}\arccos(\cos t)=\operatorname{sgn}(\sin t)Следовательно,y′=2x(sgn⁡(cos⁡x2)+sgn⁡(sin⁡x2))y'=2x\left(
\operatorname{sgn}(\cos x^2)
+\operatorname{sgn}(\sin x^2)
\right)Здесьsgn⁡z={−1,z<00,z=01,z>0\operatorname{sgn}z=
\begin{cases}
-1, & z<0\\
0, & z=0\\
1, & z>0
\end{cases}Раскроем знаки по четвертям. При k=0,1,2,…k=0,1,2,\ldots
y′={4x,2kπ<x2<2kπ+π20,2kπ+π2<x2<(2k+1)π−4x,(2k+1)π<x2<2kπ+3π20,2kπ+3π2<x2<2(k+1)πy'=
\begin{cases}
4x, & 2k\pi<x^2<2k\pi+\dfrac\pi2\\
0, & 2k\pi+\dfrac\pi2<x^2<(2k+1)\pi\\
-4x, & (2k+1)\pi<x^2<2k\pi+\dfrac{3\pi}{2}\\
0, & 2k\pi+\dfrac{3\pi}{2}<x^2<2(k+1)\pi
\end{cases}

Проверка

При x=0x=0 непосредственно получаем y=2x2y=2x^2 в некоторой
окрестности нуля, поэтомуy′(0)=0y'(0)=0В точкахx2=nπ2,n=1,2,3,…x^2=\frac{n\pi}{2},
\qquad n=1,2,3,\ldotsменяется ветвь одного слагаемого.
Односторонние производные не совпадают, поэтому обычной производной нет.
Демидович № 958 — решение и ответ