Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 944

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

y=\operatorname{arctg}\frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}

Ответ:

y'=\frac1{2\sqrt{1-x^2}}, \qquad -1<x<1

Решение

Проверка

Область определения функции имеет вид

D=[-1,1]

Положим

\theta=\arcsin x

. Тогда

-\frac\pi2\leqslant\theta\leqslant\frac\pi2 \qquad x=\sin\theta \qquad \sqrt{1-x^2}=\cos\theta

По формуле тангенса половинного угла

\frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}} =\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta} =\operatorname{tg}\frac\theta2

Поскольку

\frac\theta2\in\left[-\frac\pi4,\frac\pi4\right]

арктангенс возвращает именно
это значение:

y=\frac\theta2=\frac12\arcsin x

Следовательно, во внутренних точках области определения

y'=\frac1{2\sqrt{1-x^2}}