Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 944

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

Задача 944

y=arctg⁡x1+1−x2y=\operatorname{arctg}\frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}
Ответ:y′=121−x2,−1<x<1y'=\frac1{2\sqrt{1-x^2}},
\qquad -1<x<1

Решение

Область определения функции имеет видD=[−1,1]D=[-1,1]Положим θ=arcsin⁡x\theta=\arcsin x. Тогда−π2⩽θ⩽π2x=sin⁡θ1−x2=cos⁡θ-\frac\pi2\leqslant\theta\leqslant\frac\pi2
\qquad
x=\sin\theta
\qquad
\sqrt{1-x^2}=\cos\thetaПо формуле тангенса половинного углаx1+1−x2=sin⁡θ1+cos⁡θ=tg⁡θ2\frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}
=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}
=\operatorname{tg}\frac\theta2Посколькуθ2∈[−π4,π4]\frac\theta2\in\left[-\frac\pi4,\frac\pi4\right]арктангенс возвращает именно
это значение:y=θ2=12arcsin⁡xy=\frac\theta2=\frac12\arcsin xСледовательно, во внутренних точках области определенияy′=121−x2y'=\frac1{2\sqrt{1-x^2}} В точках x=±1x=\pm1 разностные отношения равны половине соответствующих разностных отношений арксинуса из №828 и стремятся к +∞+\infty. Конечных односторонних производных в концах нет.
Демидович № 944 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика