Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 959

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

y=e^{m\arcsin x} \left[\cos(m\arcsin x)+\sin(m\arcsin x)\right]

Ответ:

y'=\frac{2m e^{m\arcsin x}\cos(m\arcsin x)} {\sqrt{1-x^2}}, \qquad -1<x<1

Решение

Будем считать, что

m\in\mathbb R, \qquad m=\operatorname{const}

Тогда функция определена на отрезке

[-1,1]

. Положим

u=m\arcsin x

Тогда

u'=\frac{m}{\sqrt{1-x^2}}

Сначала дифференцируем по

u

\begin{aligned} \frac d{du}\left(e^u(\cos u+\sin u)\right) &=e^u(\cos u+\sin u) +e^u(-\sin u+\cos u)=\\ &=2e^u\cos u\end{aligned}

По правилу производной сложной функции

y'=\frac{2m e^{m\arcsin x}\cos(m\arcsin x)} {\sqrt{1-x^2}}