Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 946

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

Задача 946

y=3−x21−2x−x2+2arcsin⁡1+x2y=\frac{3-x}{2}\sqrt{1-2x-x^2}
+2\arcsin\frac{1+x}{\sqrt2}
Ответ:y′=x21−2x−x2,−1−2<x<−1+2y'=\frac{x^2}{\sqrt{1-2x-x^2}},
\qquad -1-\sqrt2<x<-1+\sqrt2

Решение

Идея

Оба ограничения на область определения сводятся к неравенству

Проверка

1−2x−x2=2−(x+1)2⩾01-2x-x^2=2-(x+1)^2\geqslant0ПоэтомуD=[−1−2,−1+2]D=[-1-\sqrt2,-1+\sqrt2]Обозначим q=1−2x−x2q=1-2x-x^2. Во внутренних точках этого отрезка(3−x2q)′=−q2−(3−x)(1+x)2q==x2−2q\begin{aligned}
\left(\frac{3-x}{2}\sqrt q\right)'
&=-\frac{\sqrt q}{2}
-\frac{(3-x)(1+x)}{2\sqrt q}=\\
&=\frac{x^2-2}{\sqrt q}
\end{aligned}Для второго слагаемого получаем(2arcsin⁡1+x2)′=2q\left(2\arcsin\frac{1+x}{\sqrt2}\right)'
=\frac2{\sqrt q}Следовательно,y′=x2−2q+2q=x21−2x−x2y'=\frac{x^2-2}{\sqrt q}+\frac2{\sqrt q}
=\frac{x^2}{\sqrt{1-2x-x^2}}
Демидович № 946 — решение и ответ