Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 924

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

Задача 924

y=arccos⁡1−x2y=\arccos\sqrt{1-x^2}
Ответ:При −1<x<1-1<x<1, x≠0x\ne0,y′=sgn⁡x1−x2y'=\frac{\operatorname{sgn} x}{\sqrt{1-x^2}}В точке x=0x=0 производная не существует; при x=−1x=-1 и x=1x=1
конечных односторонних производных нет.

Решение

Из условия 1−x2⩾01-x^2\geqslant0 получаемDy=[−1,1]D_y=[-1,1]Для ∣x∣⩽1|x|\leqslant1 число arcsin⁡∣x∣\arcsin|x| принадлежит отрезку
[0,π2]\left[0,\frac\pi2\right], причёмcos⁡(arcsin⁡∣x∣)=1−x2\cos(\arcsin|x|)=\sqrt{1-x^2}По определению главной ветви арккосинуса отсюда следует тождествоarccos⁡1−x2=arcsin⁡∣x∣\arccos\sqrt{1-x^2}=\arcsin|x|Поэтому при −1<x<0-1<x<0y′=−11−x2y'=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}а при 0<x<10<x<1y′=11−x2y'=\frac1{\sqrt{1-x^2}}Иначе это можно записать одной формулой:y′=sgn⁡x1−x2,−1<x<1,x≠0y'=\frac{\operatorname{sgn} x}{\sqrt{1-x^2}}
,\qquad
-1<x<1,\quad x\ne0В нуле левая производная равна −1-1, а правая равна 11, поэтому
y′(0)y'(0) не существует. В концах x=±1x=\pm1 функция совпадает соответственно с arcsin⁡(−x)\arcsin(-x) и arcsin⁡x\arcsin x. Разностное отношение при x→−1+x\to-1+ равно минус разностному отношению арксинуса при его аргументе, стремящемся к 1−1-; при x→1−x\to1- оно совпадает с этим отношением. По №828 пределы равны соответственно −∞-\infty и +∞+\infty. Следовательно, конечных односторонних производных в концах нет.
Демидович № 924 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика