Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 945

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

Задача 945

y=arcctg⁡a−2x2ax−x2a>0y=\operatorname{arcctg}\frac{a-2x}{2\sqrt{ax-x^2}}
\qquad a>0
Ответ:y′=1ax−x2,0<x<ay'=\frac1{\sqrt{ax-x^2}},
\qquad 0<x<a

Решение

Идея

Подкоренное выражение находится в знаменателе, поэтому
ax−x2=x(a−x)>0ax-x^2=x(a-x)>0При a>0a>0 отсюда следуетD=(0,a)D=(0,a)Используем соглашениеarcctg⁡u∈(0,π)\operatorname{arcctg}u\in(0,\pi)Обозначимq=x(a−x)u=a−2x2qq=x(a-x)
\qquad
u=\frac{a-2x}{2\sqrt q}Тогда1+u2=4q+(a−2x)24q=a24q1+u^2=\frac{4q+(a-2x)^2}{4q}=\frac{a^2}{4q}Кроме того,q′=a−2xu=12(a−2x)q−12q'=a-2x
\qquad
u=\frac12(a-2x)q^{-\frac12}Поэтомуu′=−q−12−(a−2x)24q32==−4q+(a−2x)24q32=−a24q32\begin{aligned}
u'&=-q^{-\frac12}
-\frac{(a-2x)^2}{4q^{\frac32}}=\\
&=-\frac{4q+(a-2x)^2}{4q^{\frac32}}
=-\frac{a^2}{4q^{\frac32}}
\end{aligned}Используя формулу производной арккотангенса, получаемy′=−u′1+u2=1q=1ax−x2y'=-\frac{u'}{1+u^2}
=\frac1{\sqrt q}
=\frac1{\sqrt{ax-x^2}}
Демидович № 945 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика