Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 927

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

Задача 927

y=2a2−b2arcctg⁡(a−ba+btg⁡x2),a>b⩾0y=\frac2{\sqrt{a^2-b^2}}
\operatorname{arcctg}
\left(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\operatorname{tg}\frac x2\right)
,\qquad a>b\geqslant0
Ответ:y′=−1a+bcos⁡x,x≠(2k+1)π,k∈Z,a>b⩾0y'=-\frac1{a+b\cos x},
\qquad
x\ne(2k+1)\pi,\quad k\in\mathbb Z,\quad a>b\geqslant0

Решение

Идея

Так как a>b⩾0a>b\geqslant0, числа a−ba-b, a+ba+b и
a2−b2a^2-b^2 положительны. Введём обозначение
q=a−ba+bq=\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}При принятом соглашении
arcctg⁡u∈(0,π)\operatorname{arcctg}u\in(0,\pi) исходная функция определена приx≠(2k+1)π,k∈Zx\ne(2k+1)\pi,
\qquad k\in\mathbb ZПоложим u=qtg⁡x2u=q\operatorname{tg}\frac x2. Тогдаu′=q2sec⁡2x2u'=\frac q2\sec^2\frac x2иy′=−2a2−b2q2sec⁡2x21+q2tg⁡2x2y'=-\frac2{\sqrt{a^2-b^2}}
\frac{\dfrac q2\sec^2\dfrac x2}
{1+q^2\operatorname{tg}^2\dfrac x2}Посколькуqa2−b2=1a+b\frac q{\sqrt{a^2-b^2}}
=\frac1{a+b}получаемy′=−sec⁡2x2(a+b)+(a−b)tg⁡2x2y'=-\frac{\sec^2\dfrac x2}
{(a+b)+(a-b)\operatorname{tg}^2\dfrac x2}Умножим числитель и знаменатель на cos⁡2x2\cos^2\frac x2 и используем
тождество cos⁡2x2−sin⁡2x2=cos⁡x\cos^2\frac x2-\sin^2\frac x2=\cos x:y′=−1(a+b)cos⁡2x2+(a−b)sin⁡2x2==−1a+bcos⁡x\begin{aligned}
y'&=-\frac1
{(a+b)\cos^2\dfrac x2+(a-b)\sin^2\dfrac x2}=\\
&=-\frac1{a+b\cos x}
\end{aligned}Знаменатель положителен, поскольку
a+bcos⁡x⩾a−b>0a+b\cos x\geqslant a-b>0.
Демидович № 927 — решение и ответ