Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 935

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

y=\frac16\ln\frac{(x+1)^2}{x^2-x+1} +\frac1{\sqrt3}\operatorname{arctg}\frac{2x-1}{\sqrt3}

Ответ:

y'=\frac1{x^3+1}, \qquad x\ne-1

Решение

Идея

Квадратный трёхчлен

x^2-x+1

положителен при всех

x

, так как
его дискриминант равен

-3

. Аргумент логарифма положителен при

x\ne-1

, поэтому

Проверка

D_y=\mathbb R\setminus\{-1\}

Производная логарифмической части равна

\frac16\left( \frac2{x+1}-\frac{2x-1}{x^2-x+1} \right)

Для арктангенса получаем

\begin{aligned} \frac1{\sqrt3} \left(\operatorname{arctg}\frac{2x-1}{\sqrt3}\right)' &=\frac1{\sqrt3}\cdot \frac{\dfrac2{\sqrt3}} {1+\dfrac{(2x-1)^2}{3}}=\\ &=\frac1{2(x^2-x+1)} \end{aligned}

Следовательно,

\begin{aligned} y'=\frac1{3(x+1)} &-\frac{2x-1}{6(x^2-x+1)} +\frac1{2(x^2-x+1)}=\\ &=\frac1{3(x+1)} +\frac{2-x}{3(x^2-x+1)} \end{aligned}

После приведения к общему знаменателю числитель равен

x^2-x+1+(2-x)(x+1)=3

поэтому

y'=\frac1{(x+1)(x^2-x+1)}=\frac1{x^3+1}