Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 934

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

Задача 934

y=x2a2−x2+a22arcsin⁡xa,a>0y=\frac x2\sqrt{a^2-x^2}
+\frac{a^2}{2}\arcsin\frac xa
,\qquad a>0
Ответ:y′=a2−x2,−a<x<a,a>0y'=\sqrt{a^2-x^2},
\qquad -a<x<a,\quad a>0Односторонние производные: y+′(−a)=y−′(a)=0y'_+(-a)=y'_-(a)=0.

Решение

Идея

Обе части исходной функции определены при ∣x∣⩽a|x|\leqslant a, поэтому

Проверка

Dy=[−a,a]D_y=[-a,a]Обычную производную ищем во внутренних точках этого отрезка. Для
первого слагаемого применяем правило произведения:(x2a2−x2)′=12a2−x2−x22a2−x2\left(\frac x2\sqrt{a^2-x^2}\right)'
=\frac12\sqrt{a^2-x^2}
-\frac{x^2}{2\sqrt{a^2-x^2}}Так как a>0a>0,(arcsin⁡xa)′=1a1−x2a2=1a2−x2\left(\arcsin\frac xa\right)'
=\frac{\dfrac1a}{\sqrt{1-\dfrac{x^2}{a^2}}}
=\frac1{\sqrt{a^2-x^2}}Следовательно,y′=12a2−x2−x22a2−x2+a22a2−x2==a2−x2\begin{aligned}
y'=\frac12\sqrt{a^2-x^2}
&-\frac{x^2}{2\sqrt{a^2-x^2}}
+\frac{a^2}{2\sqrt{a^2-x^2}}=\\
&=\sqrt{a^2-x^2}
\end{aligned}Формула получена при −a<x<a-a<x<a. Функция непрерывна на [−a,a][-a,a],
а её производная во внутренних точках стремится к нулю при
x→−a+x\to-a+ и при x→a−x\to a-. Поэтому по теореме Лагранжа конечные
односторонние производные в концах существуют и равныy+′(−a)=0y−′(a)=0y'_+(-a)=0
\qquad
y'_-(a)=0
Демидович № 934 — решение и ответ