Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 934

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

Задача 934

y=x2a2−x2+a22arcsin⁡xa,a>0y=\frac x2\sqrt{a^2-x^2}
+\frac{a^2}{2}\arcsin\frac xa
,\qquad a>0
Ответ:y′=a2−x2,−a<x<a,a>0y'=\sqrt{a^2-x^2},
\qquad -a<x<a,\quad a>0Односторонние производные: y+′(−a)=y−′(a)=0y'_+(-a)=y'_-(a)=0.

Решение

Обе части исходной функции определены при ∣x∣⩽a|x|\leqslant a, поэтому
Dy=[−a,a]D_y=[-a,a]Обычную производную ищем во внутренних точках этого отрезка. Для
первого слагаемого применяем правило произведения:(x2a2−x2)′=12a2−x2−x22a2−x2\left(\frac x2\sqrt{a^2-x^2}\right)'
=\frac12\sqrt{a^2-x^2}
-\frac{x^2}{2\sqrt{a^2-x^2}}Так как a>0a>0,(arcsin⁡xa)′=1a1−x2a2=1a2−x2\left(\arcsin\frac xa\right)'
=\frac{\dfrac1a}{\sqrt{1-\dfrac{x^2}{a^2}}}
=\frac1{\sqrt{a^2-x^2}}Следовательно,y′=12a2−x2−x22a2−x2+a22a2−x2==a2−x2\begin{aligned}
y'=\frac12\sqrt{a^2-x^2}
&-\frac{x^2}{2\sqrt{a^2-x^2}}
+\frac{a^2}{2\sqrt{a^2-x^2}}=\\
&=\sqrt{a^2-x^2}
\end{aligned}Для левой производной в точке aa положим x=acos⁡tx=a\cos t, t→0+t\to0+. Тогда a2−x2=asin⁡t\sqrt{a^2-x^2}=a\sin t, arcsin⁡(x/a)=π/2−t\arcsin(x/a)=\pi/2-t иy(x)−y(a)x−a=a2 t−sin⁡tcos⁡t1−cos⁡t.\frac{y(x)-y(a)}{x-a}
=\frac a2\,\frac{t-\sin t\cos t}{1-\cos t}.Из tcos⁡t⩽sin⁡t⩽tt\cos t\leqslant\sin t\leqslant t следует0⩽t−sin⁡tcos⁡t=(t−sin⁡t)+sin⁡t(1−cos⁡t)⩽(t+sin⁡t)(1−cos⁡t).0\leqslant t-\sin t\cos t
=(t-\sin t)+\sin t(1-\cos t)
\leqslant(t+\sin t)(1-\cos t).Поэтому разностное отношение лежит между 00 и a(t+sin⁡t)/2a(t+\sin t)/2, и его предел равен нулю.

Исходная функция нечётна: оба её слагаемых меняют знак при замене xx на −x-x. При z→a−z\to a- поэтомуy(−z)−y(−a)−z+a=y(z)−y(a)z−a⟶0.\frac{y(-z)-y(-a)}{-z+a}=
\frac{y(z)-y(a)}{z-a}\longrightarrow0.Следовательно, y+′(−a)=y−′(a)=0y'_+(-a)=y'_-(a)=0.
Демидович № 934 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика