Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 969

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции:

y=\operatorname{arctg}(\operatorname{th}x)

Ответ:

y'=\frac1{\operatorname{ch}2x},\qquad x\in\mathbb R

Решение

Функция определена на всей числовой прямой. По правилу цепочки

y'=\frac{1-\operatorname{th}^2x}{1+\operatorname{th}^2x}

Умножая числитель и знаменатель на

\operatorname{ch}^2x

, получаем

y'=\frac1{\operatorname{ch}^2x+\operatorname{sh}^2x}=\frac1{\operatorname{ch}2x}