Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 968

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача, подробное решение и ответ.

y=\frac{\operatorname{ch}x}{\operatorname{sh}^2x}-\ln\left(\operatorname{cth}\frac x2\right)

Ответ:

y'=-\frac2{\operatorname{sh}^3x},\qquad x>0

Решение

Идея

Для вещественного логарифма необходимо

\operatorname{cth}\dfrac x2>0

, поэтому область определения равна

(0,+\infty)

. Производная первого слагаемого равна

Проверка

\left(\frac{\operatorname{ch}x}{\operatorname{sh}^2x}\right)'=\frac{\operatorname{sh}^2x-2\operatorname{ch}^2x}{\operatorname{sh}^3x}

Для логарифма получаем

\left(\ln\left(\operatorname{cth}\frac x2\right)\right)'=-\frac1{\operatorname{sh}x}

Следовательно,

\begin{aligned}y'&=\frac{\operatorname{sh}^2x-2\operatorname{ch}^2x}{\operatorname{sh}^3x}+\frac1{\operatorname{sh}x}=\\&=-\frac2{\operatorname{sh}^3x}\end{aligned}