Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 941

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

Задача 941

y=112ln⁡x4−x2+1(x2+1)2−123arctg⁡32x2−1y=\frac1{12}\ln\frac{x^4-x^2+1}{(x^2+1)^2}
-\frac1{2\sqrt3}\operatorname{arctg}\frac{\sqrt3}{2x^2-1}
Ответ:y′=x31+x6,x≠±12y'=\frac{x^3}{1+x^6},
\qquad
x\ne\pm\frac1{\sqrt2}

Решение

Проверка

Многочленx4−x2+1=(x2−12)2+34x^4-x^2+1=\left(x^2-\frac12\right)^2+\frac34положителен при всех xx. Логарифм определён на всей числовой
прямой, но дробь под знаком арктангенса не определена при2x2−1=02x^2-1=0Следовательно,D=R∖{−12,12}D=\mathbb R\setminus
\left\{-\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2}\right\}ОбозначимA=x4−x2+1A=x^4-x^2+1Тогда производная логарифмического слагаемого равна112(4x3−2xA−4xx2+1)\frac1{12}\left(\frac{4x^3-2x}{A}-\frac{4x}{x^2+1}\right)Для второго слагаемого используем формулу производной арктангенса:(arctg⁡32x2−1)′=−3xA\left(\operatorname{arctg}\frac{\sqrt3}{2x^2-1}\right)'
=-\frac{\sqrt3x}{A}Поэтомуy′=x(2x2−1)6A−x3(x2+1)+x2A==x(x2+1)3A−x3(x2+1)=x3(x2+1)A\begin{aligned}
y'&=\frac{x(2x^2-1)}{6A}
-\frac{x}{3(x^2+1)}+\frac{x}{2A}=\\
&=\frac{x(x^2+1)}{3A}
-\frac{x}{3(x^2+1)}
=\frac{x^3}{(x^2+1)A}
\end{aligned}Так как(x2+1)(x4−x2+1)=x6+1(x^2+1)(x^4-x^2+1)=x^6+1окончательно получаемy′=x31+x6y'=\frac{x^3}{1+x^6}
Демидович № 941 — решение и ответ