Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 956

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

Задача 956

y=x1−x21+x2−32arcctg⁡x21−x2y=\frac{x\sqrt{1-x^2}}{1+x^2}
-\frac3{\sqrt2}\operatorname{arcctg}
\frac{x\sqrt2}{\sqrt{1-x^2}}
Ответ:y′=41−x2(1+x2)2,−1<x<1y'=\frac4{\sqrt{1-x^2}(1+x^2)^2},
\qquad -1<x<1

Решение

Проверка

Для аргумента арккотангенса требуется1−x2>0\sqrt{1-x^2}>0Следовательно,D=(−1,1)D=(-1,1)Используем соглашениеarcctg⁡u∈(0,π)\operatorname{arcctg}u\in(0,\pi)Обозначимs=1−x2s=\sqrt{1-x^2}Дифференцируем первое слагаемое:(xs1+x2)′=1−3x2s(1+x2)2\left(\frac{xs}{1+x^2}\right)'
=\frac{1-3x^2}{s(1+x^2)^2}Положимu=x2su=\frac{x\sqrt2}sТогдаu′=2s31+u2=1+x2s2u'=\frac{\sqrt2}{s^3}
\qquad
1+u^2=\frac{1+x^2}{s^2}Следовательно,(−32arcctg⁡u)′=3s(1+x2)\left(-\frac3{\sqrt2}\operatorname{arcctg}u\right)'
=\frac3{s(1+x^2)}Складывая производные, находимy′=1−3x2s(1+x2)2+3s(1+x2)==4s(1+x2)2=41−x2(1+x2)2\begin{aligned}
y'&=\frac{1-3x^2}{s(1+x^2)^2}
+\frac3{s(1+x^2)}=\\
&=\frac4{s(1+x^2)^2}
=\frac4{\sqrt{1-x^2}(1+x^2)^2}
\end{aligned}