Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 925

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

y=\operatorname{arctg}\frac{1+x}{1-x}

Ответ:

y'=\frac1{1+x^2}, \qquad x\ne1

Решение

Проверка

Исходная дробь определена при

x\ne1

. Положим

u(x)=\frac{1+x}{1-x}

Тогда

u'(x)=\frac{(1-x)+(1+x)}{(1-x)^2} =\frac2{(1-x)^2}

По правилу дифференцирования арктангенса

y'=\frac{u'}{1+u^2} =\frac{\dfrac2{(1-x)^2}} {1+\dfrac{(1+x)^2}{(1-x)^2}}

В знаменателе

(1-x)^2+(1+x)^2=2(1+x^2)

поэтому после сокращения получаем

y'=\frac1{1+x^2}

Эта формула справедлива на каждом из промежутков

( -\infty,1)

(1,+\infty)

. В точке

x=1

исходная функция
не определена.