Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 947

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

y=\frac14\ln \frac{\sqrt[4]{1+x^4}+x}{\sqrt[4]{1+x^4}-x} -\frac12\operatorname{arctg}\frac{\sqrt[4]{1+x^4}}x

Ответ:

y'=\frac1{\sqrt[4]{1+x^4}}, \qquad x\ne0

Решение

Проверка

Положим

s=\sqrt[4]{1+x^4}

Так как

s>|x|

, логарифм определён при всех действительных

x

.
Однако аргумент арктангенса содержит деление на

x

, поэтому

D=\mathbb R\setminus\{0\}

Из равенства

s^4=1+x^4

следуют соотношения

s'=\frac{x^3}{s^3} \qquad s-xs'=\frac1{s^3} \qquad (s^2-x^2)(s^2+x^2)=1

Производная логарифмического слагаемого равна

\begin{aligned} \left(\frac14\ln\frac{s+x}{s-x}\right)' &=\frac14\left(\frac{s'+1}{s+x} -\frac{s'-1}{s-x}\right)=\\ &=\frac{s-xs'}{2(s^2-x^2)} =\frac{s^2+x^2}{2s^3}\end{aligned}

Для второго слагаемого положим

v=\dfrac sx

. Тогда

\begin{aligned} v'&=\frac{xs'-s}{x^2} =-\frac1{s^3x^2}\\ 1+v^2&=\frac{s^2+x^2}{x^2}\end{aligned}

Следовательно,

\left(-\frac12\operatorname{arctg} v\right)' =\frac1{2s^3(s^2+x^2)} =\frac{s^2-x^2}{2s^3}

Складывая производные, находим

y'=\frac{s^2+x^2+s^2-x^2}{2s^3} =\frac1s =\frac1{\sqrt[4]{1+x^4}}