Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 926

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

Задача 926

y=arcctg⁡(sin⁡x+cos⁡xsin⁡x−cos⁡x)y=\operatorname{arcctg}
\left(\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}\right)
Ответ:y′=1,x≠π4+kπ,k∈Zy'=1,
\qquad
x\ne\frac\pi4+k\pi,\quad k\in\mathbb Z

Решение

Проверка

Используем соглашениеarcctg⁡u∈(0,π)dduarcctg⁡u=−11+u2\operatorname{arcctg}u\in(0,\pi)
\qquad
\frac d{du}\operatorname{arcctg}u=-\frac1{1+u^2}Исходная функция определена, еслиsin⁡x−cos⁡x≠0\sin x-\cos x\ne0то естьx≠π4+kπ,k∈Zx\ne\frac\pi4+k\pi,
\qquad k\in\mathbb ZОбозначимN=sin⁡x+cos⁡xM=sin⁡x−cos⁡xN=\sin x+\cos x
\qquad
M=\sin x-\cos xТогда N′=−MN'=-M, M′=NM'=N, и для u=NMu=\frac NMu′=N′M−NM′M2=−M2+N2M2=−2M2u'=\frac{N'M-NM'}{M^2}
=-\frac{M^2+N^2}{M^2}
=-\frac2{M^2}Кроме того,1+u2=M2+N2M2=2M21+u^2=\frac{M^2+N^2}{M^2}=\frac2{M^2}Следовательно,y′=−u′1+u2=1y'=-\frac{u'}{1+u^2}=1
Демидович № 926 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика