Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 955

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

Задача 955

y=122arctg⁡x21+x4−142ln⁡1+x4−x21+x4+x2y=\frac1{2\sqrt2}\operatorname{arctg}\frac{x\sqrt2}{\sqrt{1+x^4}}
-\frac1{4\sqrt2}
\ln\frac{\sqrt{1+x^4}-x\sqrt2}
{\sqrt{1+x^4}+x\sqrt2}
Ответ:y′=1+x41−x4,x≠±1y'=\frac{\sqrt{1+x^4}}{1-x^4},
\qquad x\ne\pm1

Решение

Положимs=1+x4s=\sqrt{1+x^4}Имеемs2−2x2=(x2−1)2s^2-2x^2=(x^2-1)^2При x=1x=1 отношение под знаком логарифма равно нулю, а при x=−1x=-1
его знаменатель равен нулю. При остальных xx отношение положительно.
ПоэтомуD=R∖{−1,1}D=\mathbb R\setminus\{-1,1\}Так как s′=2x3ss'=\dfrac{2x^3}s, производная первого слагаемого равна(122arctg⁡x2s)′=1222(s−xs′)/s21+2x2/s2=s−xs′2(s2+2x2)=1−x22s(1+x2)\left(\frac1{2\sqrt2}\operatorname{arctg}\frac{x\sqrt2}s\right)'
=\frac1{2\sqrt2}\frac{\sqrt2(s-xs')/s^2}{1+2x^2/s^2}
=\frac{s-xs'}{2(s^2+2x^2)}
=\frac{1-x^2}{2s(1+x^2)}Для логарифмического слагаемого получаем(−142ln⁡s−x2s+x2)′=−142(s′−2s−2x−s′+2s+2x)=s−xs′2(s2−2x2)=1+x22s(1−x2)\left(-\frac1{4\sqrt2}
\ln\frac{s-x\sqrt2}{s+x\sqrt2}\right)'
=-\frac1{4\sqrt2}\left(\frac{s'-\sqrt2}{s-\sqrt2x}-\frac{s'+\sqrt2}{s+\sqrt2x}\right)
=\frac{s-xs'}{2(s^2-2x^2)}
=\frac{1+x^2}{2s(1-x^2)}Складывая производные, находимy′=12s(1−x21+x2+1+x21−x2)==1+x4s(1−x4)=1+x41−x4\begin{aligned}
y'&=\frac1{2s}
\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}
+\frac{1+x^2}{1-x^2}\right)=\\
&=\frac{1+x^4}{s(1-x^4)}
=\frac{\sqrt{1+x^4}}{1-x^4}
\end{aligned} Здесь s−xs′=(1−x4)/ss-xs'=(1-x^4)/s, s2+2x2=(1+x2)2s^2+2x^2=(1+x^2)^2 и s2−2x2=(1−x2)2s^2-2x^2=(1-x^2)^2; сокращение допустимо, поскольку x≠±1x\ne\pm1.