Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 955

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

y=\frac1{2\sqrt2}\operatorname{arctg}\frac{x\sqrt2}{\sqrt{1+x^4}} -\frac1{4\sqrt2} \ln\frac{\sqrt{1+x^4}-x\sqrt2} {\sqrt{1+x^4}+x\sqrt2}

Ответ:

y'=\frac{\sqrt{1+x^4}}{1-x^4}, \qquad x\ne\pm1

Решение

Положим

s=\sqrt{1+x^4}

Имеем

s^2-2x^2=(x^2-1)^2

При

x=1

отношение под знаком логарифма равно нулю, а при

x=-1

его знаменатель равен нулю. При остальных

x

отношение положительно.
Поэтому

D=\mathbb R\setminus\{-1,1\}

Так как

s'=\dfrac{2x^3}s

, производная первого слагаемого равна

\left(\frac1{2\sqrt2}\operatorname{arctg}\frac{x\sqrt2}s\right)' =\frac{1-x^2}{2s(1+x^2)}

Для логарифмического слагаемого получаем

\left(-\frac1{4\sqrt2} \ln\frac{s-x\sqrt2}{s+x\sqrt2}\right)' =\frac{1+x^2}{2s(1-x^2)}

Складывая производные, находим

\begin{aligned} y'&=\frac1{2s} \left(\frac{1-x^2}{1+x^2} +\frac{1+x^2}{1-x^2}\right)=\\ &=\frac{1+x^4}{s(1-x^4)} =\frac{\sqrt{1+x^4}}{1-x^4}\end{aligned}