Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 940

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

Задача 940

y=arcsin⁡x1−x2+12ln⁡1−x1+xy=\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}
+\frac12\ln\frac{1-x}{1+x}
Ответ:y′=xarcsin⁡x(1−x2)32,−1<x<1y'=\frac{x\arcsin x}{(1-x^2)^{\frac32}},
\qquad -1<x<1

Решение

Обе части выражения определены при−1<x<1-1<x<1Первое слагаемое перепишем в виде произведения:arcsin⁡x1−x2=arcsin⁡x (1−x2)−12\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}
=\arcsin x\,(1-x^2)^{-\frac12}Теперь применяем правило производной произведения:(arcsin⁡x1−x2)′=11−x2+xarcsin⁡x(1−x2)32\left(\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}\right)'
=\frac1{1-x^2}
+\frac{x\arcsin x}{(1-x^2)^{\frac32}}Для логарифмического слагаемого получаем(12ln⁡1−x1+x)′=12(−11−x−11+x)=−11−x2\left(\frac12\ln\frac{1-x}{1+x}\right)'
=\frac12\left(-\frac1{1-x}-\frac1{1+x}\right)
=-\frac1{1-x^2}Слагаемые 11−x2\dfrac1{1-x^2} сокращаются, поэтомуy′=xarcsin⁡x(1−x2)32y'=\frac{x\arcsin x}{(1-x^2)^{\frac32}}
Демидович № 940 — решение и ответ