Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 940

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

y=\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} +\frac12\ln\frac{1-x}{1+x}

Ответ:

y'=\frac{x\arcsin x}{(1-x^2)^{\frac32}}, \qquad -1<x<1

Решение

Обе части выражения определены при

-1<x<1

Первое слагаемое перепишем в виде произведения:

\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} =\arcsin x\,(1-x^2)^{-\frac12}

Теперь применяем правило производной произведения:

\left(\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}\right)' =\frac1{1-x^2} +\frac{x\arcsin x}{(1-x^2)^{\frac32}}

Для логарифмического слагаемого получаем

\left(\frac12\ln\frac{1-x}{1+x}\right)' =\frac12\left(-\frac1{1-x}-\frac1{1+x}\right) =-\frac1{1-x^2}

Слагаемые

\dfrac1{1-x^2}

сокращаются, поэтому

y'=\frac{x\arcsin x}{(1-x^2)^{\frac32}}