Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 936

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

y=\frac1{4\sqrt2} \ln\frac{x^2+x\sqrt2+1}{x^2-x\sqrt2+1} -\frac1{2\sqrt2} \operatorname{arctg}\frac{x\sqrt2}{x^2-1}

Ответ:

y'=\frac1{x^4+1}, \qquad x\ne-1,\quad x\ne1

Решение

Квадратные трёхчлены

x^2\pm x\sqrt2+1 =\left(x\pm\frac1{\sqrt2}\right)^2+\frac12

положительны при всех

x

. Дробь в аргументе арктангенса требует

x^2-1\ne0

. Поэтому

D_y=\mathbb R\setminus\{-1,1\}

Обозначим

A=x^2+x\sqrt2+1 \qquad B=x^2-x\sqrt2+1

Тогда

AB=x^4+1

A'B-B'A=2[\sqrt2(1+x^2)-2x\cdot\sqrt2x]=2\sqrt2(1-x^2)

Следовательно, производная логарифмической части равна

\frac1{4\sqrt2}\left(\frac{A'}A-\frac{B'}B\right) =\frac{1-x^2}{2(x^4+1)}

Теперь положим

u=\frac{x\sqrt2}{x^2-1}

Тогда

u'=-\frac{\sqrt2(x^2+1)}{(x^2-1)^2}

а также

1+u^2=\frac{x^4+1}{(x^2-1)^2}

Поэтому производная второго слагаемого равна

-\frac1{2\sqrt2}\frac{u'}{1+u^2} =\frac{x^2+1}{2(x^4+1)}

Складывая обе части, получаем

y'=\frac{1-x^2+x^2+1}{2(x^4+1)} =\frac1{x^4+1}