Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 928

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

Задача 928

y=arcsin⁡1−x21+x2y=\arcsin\frac{1-x^2}{1+x^2}
Ответ:Область определения функции — R\mathbb R. При
x≠0x\ne0y′=−2 sgn⁡x1+x2y'=-\frac{2\,\operatorname{sgn} x}{1+x^2}В точке x=0x=0 производная не существует.

Решение

Проверка

Для всех действительных xx−1<1−x21+x2⩽1-1<\frac{1-x^2}{1+x^2}\leqslant1поэтому область определения функции равна R\mathbb R. Обозначимu(x)=1−x21+x2u(x)=\frac{1-x^2}{1+x^2}Тогдаu′(x)=−4x(1+x2)2u'(x)=-\frac{4x}{(1+x^2)^2}и1−u2=(1+x2)2−(1−x2)2(1+x2)2=4x2(1+x2)21-u^2
=\frac{(1+x^2)^2-(1-x^2)^2}{(1+x^2)^2}
=\frac{4x^2}{(1+x^2)^2}При x≠0x\ne01−u2=2∣x∣1+x2\sqrt{1-u^2}=\frac{2|x|}{1+x^2}Следовательно,y′=u′1−u2=−2 sgn⁡x1+x2,x≠0y'=\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}
=-\frac{2\,\operatorname{sgn} x}{1+x^2}
,\qquad x\ne0В точке x=0x=0 функция достигает значения π2\frac\pi2. Для
∣x∣<1|x|<1 положим θ=2arctg⁡∣x∣\theta=2\operatorname{arctg}|x|. Тогда
0⩽θ<π20\leqslant\theta<\frac\pi2 и1−x21+x2=cos⁡θ\frac{1-x^2}{1+x^2}=\cos\thetaПоэтому в окрестности нуляy=arcsin⁡(cos⁡θ)=π2−θ=π2−2arctg⁡∣x∣y=\arcsin(\cos\theta)
=\frac\pi2-\theta
=\frac\pi2-2\operatorname{arctg}|x|Отсюда левая производная в нуле равна 22, а правая равна −2-2.
Следовательно, y′(0)y'(0) не существует.
Демидович № 928 — решение и ответ