Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 967

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача, подробное решение и ответ.

Задача 967

y=ln⁡(ch⁡x)+12ch⁡2xy=\ln(\operatorname{ch}x)+\frac1{2\operatorname{ch}^2x}
Ответ:y′=th⁡3x,x∈Ry'=\operatorname{th}^3x,
\qquad x\in\mathbb R

Решение

Идея

Так как ch⁡x>0\operatorname{ch}x>0, функция определена при всех
x∈Rx\in\mathbb R. Дифференцируем оба слагаемых:
y′=th⁡x−sh⁡xch⁡3x==th⁡x(1−1ch⁡2x)\begin{aligned}
y'
&=\operatorname{th}x-
\frac{\operatorname{sh}x}{\operatorname{ch}^3x}=\\
&=\operatorname{th}x
\left(1-\frac1{\operatorname{ch}^2x}\right)
\end{aligned}Из тождества1−1ch⁡2x=th⁡2x1-\frac1{\operatorname{ch}^2x}=\operatorname{th}^2xследует окончательный результат.
Демидович № 967 — решение и ответ