Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 961

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача, подробное решение и ответ.

Задача 961

y=x+xx+xxx,x>0y=x+x^x+x^{x^x},
\qquad x>0
Ответ:y′=1+xx(ln⁡x+1)+xxxxx[(ln⁡x+1)ln⁡x+1x],x>0y'=1+x^x(\ln x+1)+x^{x^x}x^x
\left[(\ln x+1)\ln x+\frac1x\right],
\qquad x>0

Решение

Идея

Используем логарифмическое дифференцирование. Сначала
(xx)′=xx(ln⁡x+1)\left(x^x\right)'=x^x(\ln x+1)Далее представим последнее слагаемое в видеxxx=exp⁡ ⁣(xxln⁡x)x^{x^x}=\exp\!\left(x^x\ln x\right)Поэтому(xxx)′=xxx[(xx)′ln⁡x+xxx]==xxxxx[(ln⁡x+1)ln⁡x+1x]\begin{aligned}
\left(x^{x^x}\right)'
&=x^{x^x}\left[\left(x^x\right)'\ln x+
\frac{x^x}{x}\right]=\\
&=x^{x^x}x^x
\left[(\ln x+1)\ln x+\frac1x\right]
\end{aligned}Складывая производные трёх слагаемых, получаем ответ.
Демидович № 961 — решение и ответ