Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 949

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

Задача 949

y=1−x2 ln⁡1−x1+x+12ln⁡1−1−x21+1−x2+1−x2+arcsin⁡xy=\sqrt{1-x^2}\,\ln\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}
+\frac12\ln\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{1+\sqrt{1-x^2}}
+\sqrt{1-x^2}+\arcsin x
Ответ:y′=1−x2x−x1−x2ln⁡1−x1+x,x∈(−1,0)∪(0,1)y'=\frac{\sqrt{1-x^2}}x
-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}
\ln\sqrt{\frac{1-x}{1+x}},
\qquad x\in(-1,0)\cup(0,1)

Решение

Первый логарифм требует−1<x<1-1<x<1Во втором логарифме аргумент равен нулю при x=0x=0. ПоэтомуD=(−1,0)∪(0,1)D=(-1,0)\cup(0,1)Обозначимs=1−x2L=ln⁡1−x1+xs=\sqrt{1-x^2}
\qquad
L=\ln\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}Тогдаs′=−xsL′=−1s2s'=-\frac xs
\qquad
L'=-\frac1{s^2}Первая часть функции имеет производную(sL)′=−xLs−1s(sL)'=-\frac{xL}s-\frac1sДля второго логарифма получаем(12ln⁡1−s1+s)′=−s′1−s2=1sx\left(\frac12\ln\frac{1-s}{1+s}\right)'
=-\frac{s'}{1-s^2}
=\frac1{sx}Кроме того,s′=−xs,(arcsin⁡x)′=1ss'=-\frac xs,
\qquad
(\arcsin x)'=\frac1sСкладывая четыре производные, находимy′=−xLs−1s+1sx−xs+1s==sx−xsL\begin{aligned}
y'=-\frac{xL}s-&\frac1s+\frac1{sx}-\frac xs+\frac1s=\\
&=\frac sx-\frac xsL
\end{aligned}Возвращаясь к исходным обозначениям, получаемy′=1−x2x−x1−x2ln⁡1−x1+xy'=\frac{\sqrt{1-x^2}}x
-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}
\ln\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}
Демидович № 949 — решение и ответ