Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 939

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

y=\operatorname{arctg}\sqrt{x^2-1} -\frac{\ln x}{\sqrt{x^2-1}}

Ответ:

y'=\frac{x\ln x}{(x^2-1)^{\frac32}}, \qquad x>1

Решение

Идея

Корень требует

|x|\geqslant1

, логарифм —

x>0

, а корень в
знаменателе не должен обращаться в нуль. Поэтому

D_y=(1,+\infty)

Положим

r=\sqrt{x^2-1}

Тогда

r'=\frac xr \qquad 1+r^2=x^2

Производная первого слагаемого равна

(\operatorname{arctg} r)'=\frac{r'}{1+r^2}=\frac1{xr}

Для второго слагаемого применяем правило произведения к

-\ln x\,r^{-1}

\left(-\frac{\ln x}{r}\right)' =-\frac1{xr}+\frac{\ln x\,r'}{r^2}

Первые два слагаемых взаимно уничтожаются, поэтому

y'=\frac{\ln x\,r'}{r^2} =\frac{x\ln x}{(x^2-1)^{\frac32}}