Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 970

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции:

y=\arccos\left(\frac1{\operatorname{ch}x}\right)

Ответ:

y'=\begin{cases}-\dfrac1{\operatorname{ch}x}, & x<0\\[2mm]\dfrac1{\operatorname{ch}x}, & x>0\end{cases}

При

x=0

функция не дифференцируема;

y'_-(0)=-1

y'_+(0)=1

Решение

Поскольку

0<\dfrac1{\operatorname{ch}x}\leqslant1

, функция
определена на всей числовой прямой. При

x\ne0

\begin{aligned}y'&=\frac{\operatorname{sh}x}{\operatorname{ch}^2x\sqrt{1-\dfrac1{\operatorname{ch}^2x}}}=\\&=\frac{\operatorname{sh}x}{\operatorname{ch}^2x\,|\operatorname{th}x|}=\frac{\operatorname{sgn}x}{\operatorname{ch}x}\end{aligned}

Для проверки нуля заметим, что

\cos(\arcsin|\operatorname{th}x|)=\sqrt{1-\operatorname{th}^2x}=1/\operatorname{ch}x

. Оба угла принадлежат

[0,\pi/2)

, поэтому

y(x)=\arcsin|\operatorname{th}x|.

По основному пределу для экспоненты

\frac{\operatorname{th}x}{x} =\frac{e^{2x}-1}{2x}\frac{2}{e^{2x}+1}\longrightarrow1.

Значит,

\frac{y(h)-y(0)}h =\frac{\arcsin|\operatorname{th}h|}{|\operatorname{th}h|} \frac{|\operatorname{th}h|}{|h|}\operatorname{sgn}h.

Два первых множителя стремятся к единице. Правая производная равна

1

, левая —

-1

, и двусторонней производной нет.