Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 970

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача, подробное решение и ответ.

y=\arccos\left(\frac1{\operatorname{ch}x}\right)

Ответ:

y'=\begin{cases}-\dfrac1{\operatorname{ch}x}, & x<0\\[2mm]\dfrac1{\operatorname{ch}x}, & x>0\end{cases}

При

x=0

функция не дифференцируема;

y'_-(0)=-1

y'_+(0)=1

Решение

Идея

Поскольку

0<\dfrac1{\operatorname{ch}x}\leqslant1

, функция
определена на всей числовой прямой. При

x\ne0

Проверка

\begin{aligned}y'&=\frac{\operatorname{sh}x}{\operatorname{ch}^2x\sqrt{1-\dfrac1{\operatorname{ch}^2x}}}=\\&=\frac{\operatorname{sh}x}{\operatorname{ch}^2x\,|\operatorname{th}x|}=\frac{\operatorname{sgn}x}{\operatorname{ch}x}\end{aligned}

В точке

x=0

формальная производная не применима. Так как

\arccos\left(\frac1{\operatorname{ch}x}\right)\sim|x|\qquad(x\to0)

левая производная равна

-1

, а правая равна

1

. Следовательно,
обычной производной при

x=0

нет.