Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 964

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача, подробное решение и ответ.

Задача 964

y=(sin⁡x)cos⁡x+(cos⁡x)sin⁡xy=(\sin x)^{\cos x}+(\cos x)^{\sin x}
Ответ:При
2πk<x<π2+2πk2\pi k<x<\dfrac\pi2+2\pi k, k∈Zk\in\mathbb Z,y′=(sin⁡x)cos⁡x(−sin⁡xln⁡(sin⁡x)+cos⁡2xsin⁡x)+(cos⁡x)sin⁡x(cos⁡xln⁡(cos⁡x)−sin⁡2xcos⁡x)\begin{aligned}
y'={}&(\sin x)^{\cos x}
\left(-\sin x\ln(\sin x)+\frac{\cos^2x}{\sin x}\right)\\
&+(\cos x)^{\sin x}
\left(\cos x\ln(\cos x)-\frac{\sin^2x}{\cos x}\right)
\end{aligned}

Решение

Идея

При стандартном вещественном определении переменной степени рассматриваем
интервалы, на которых одновременно sin⁡x>0\sin x>0 и cos⁡x>0\cos x>0, то есть
2πk<x<π2+2πk,k∈Z2\pi k<x<\frac\pi2+2\pi k,
\qquad k\in\mathbb ZДля первого слагаемого логарифмическое дифференцирование даёт((sin⁡x)cos⁡x)′=(sin⁡x)cos⁡x(−sin⁡xln⁡(sin⁡x)+cos⁡2xsin⁡x)\left((\sin x)^{\cos x}\right)'
=(\sin x)^{\cos x}
\left(-\sin x\ln(\sin x)+\frac{\cos^2x}{\sin x}\right)Для второго слагаемого аналогично получаем((cos⁡x)sin⁡x)′=(cos⁡x)sin⁡x(cos⁡xln⁡(cos⁡x)−sin⁡2xcos⁡x)\left((\cos x)^{\sin x}\right)'
=(\cos x)^{\sin x}
\left(\cos x\ln(\cos x)-\frac{\sin^2x}{\cos x}\right)
Демидович № 964 — решение и ответ