Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 923

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

Задача 923

y=arcsin⁡(sin⁡x−cos⁡x)y=\arcsin(\sin x-\cos x)
Ответ:Dy=⋃k∈Z[kπ,kπ+π2]D_y=\bigcup_{k\in\mathbb Z}
\left[k\pi,k\pi+\frac\pi2\right]На внутренних точках каждого отрезкаy′=sin⁡x+cos⁡xsin⁡2xy'=\frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{\sin2x}}В точках x=kπx=k\pi и x=kπ+π2x=k\pi+\frac\pi2 конечная производная
не существует.

Решение

Идея

Для существования функции необходимо и достаточно, чтобы

Проверка

∣sin⁡x−cos⁡x∣⩽1|\sin x-\cos x|\leqslant1Используем равенствоsin⁡x−cos⁡x=2sin⁡(x−π4)\sin x-\cos x=\sqrt2\sin\left(x-\frac\pi4\right)Тогда область определения имеет видDy=⋃k∈Z[kπ,kπ+π2]D_y=\bigcup_{k\in\mathbb Z}
\left[k\pi,k\pi+\frac\pi2\right]Во внутренних точках каждого из этих отрезков аргумент арксинуса
лежит строго между −1-1 и 11, поэтомуy′=cos⁡x+sin⁡x1−(sin⁡x−cos⁡x)2y'=\frac{\cos x+\sin x}
{\sqrt{1-(\sin x-\cos x)^2}}Знаменатель можно упростить:1−(sin⁡x−cos⁡x)2=2sin⁡xcos⁡x=sin⁡2x1-(\sin x-\cos x)^2
=2\sin x\cos x
=\sin2xПри kπ<x<kπ+π2k\pi<x<k\pi+\frac\pi2 имеем sin⁡2x>0\sin2x>0. Следовательно,y′=sin⁡x+cos⁡xsin⁡2x,kπ<x<kπ+π2y'=\frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{\sin2x}}
,\qquad
k\pi<x<k\pi+\frac\pi2В концах указанных отрезков аргумент арксинуса равен 11 или
−1-1, числитель sin⁡x+cos⁡x\sin x+\cos x не равен нулю, а знаменатель
стремится к нулю. При приближении к каждому концу изнутри
соответствующего отрезка sin⁡2x→0+\sin2x\to0^+ и
∣sin⁡x+cos⁡x∣→1\lvert\sin x+\cos x\rvert\to1, поэтому
∣y′∣→+∞\lvert y'\rvert\to+\infty. Конечной односторонней производной в
этих точках нет.
Демидович № 923 — решение и ответ