Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 923

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

y=\arcsin(\sin x-\cos x)

Ответ:

D_y=\bigcup_{k\in\mathbb Z} \left[k\pi,k\pi+\frac\pi2\right]

На внутренних точках каждого отрезка

y'=\frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{\sin2x}}

В точках

x=k\pi

x=k\pi+\frac\pi2

конечная производная
не существует.

Решение

Для существования функции необходимо и достаточно, чтобы

|\sin x-\cos x|\leqslant1

Используем равенство

\sin x-\cos x=\sqrt2\sin\left(x-\frac\pi4\right)

Тогда область определения имеет вид

D_y=\bigcup_{k\in\mathbb Z} \left[k\pi,k\pi+\frac\pi2\right]

Во внутренних точках каждого из этих отрезков аргумент арксинуса
лежит строго между

-1

1

, поэтому

y'=\frac{\cos x+\sin x} {\sqrt{1-(\sin x-\cos x)^2}}

Знаменатель можно упростить:

1-(\sin x-\cos x)^2 =2\sin x\cos x =\sin2x

При

k\pi<x<k\pi+\frac\pi2

имеем

\sin2x>0

. Следовательно,

y'=\frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{\sin2x}} ,\qquad k\pi<x<k\pi+\frac\pi2

Пусть

a

— конец одного из этих отрезков и

u(x)=\sin x-\cos x

. Тогда

u(a)=\pm1

, а

u'(a)=\cos a+\sin a=\pm1\ne0

. Для допустимых

x\to a

имеем

\frac{y(x)-y(a)}{x-a} =\frac{\arcsin u(x)-\arcsin u(a)}{u(x)-u(a)} \cdot\frac{u(x)-u(a)}{x-a}.

По проверке граничных точек арксинуса в №828 первый множитель стремится к

+\infty

, а второй — к ненулевому числу

u'(a)

. Поэтому модуль разностного отношения стремится к бесконечности. Конечной односторонней производной в концах отрезков нет.