Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 962

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача, подробное решение и ответ.

Задача 962

y=xxa+xax+axx,a>0,x>0y=x^{x^a}+x^{a^x}+a^{x^x},
\qquad a>0,
\quad x>0
Ответ:y′=xxaxa−1(aln⁡x+1)+xaxax(ln⁡a ln⁡x+1x)+axxln⁡a xx(ln⁡x+1),a>0,x>0\begin{aligned}
y'={}&x^{x^a}x^{a-1}(a\ln x+1)
+x^{a^x}a^x\left(\ln a\,\ln x+\frac1x\right)\\
&+a^{x^x}\ln a\,x^x(\ln x+1),
\qquad a>0,
\quad x>0
\end{aligned}

Решение

Идея

Каждое слагаемое запишем как экспоненту. Для первого слагаемого
xxa=exp⁡ ⁣(xaln⁡x)x^{x^a}=\exp\!\left(x^a\ln x\right)откуда(xxa)′=xxaxa−1(aln⁡x+1)\left(x^{x^a}\right)'
=x^{x^a}x^{a-1}(a\ln x+1)Аналогично,xax=exp⁡ ⁣(axln⁡x)x^{a^x}=\exp\!\left(a^x\ln x\right)поэтому(xax)′=xaxax(ln⁡a ln⁡x+1x)\left(x^{a^x}\right)'
=x^{a^x}a^x\left(\ln a\,\ln x+\frac1x\right)Наконец,axx=exp⁡ ⁣(xxln⁡a)a^{x^x}=\exp\!\left(x^x\ln a\right)и(axx)′=axxln⁡a xx(ln⁡x+1)\left(a^{x^x}\right)'
=a^{x^x}\ln a\,x^x(\ln x+1)
Демидович № 962 — решение и ответ