Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 962

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции:

y=x^{x^a}+x^{a^x}+a^{x^x},\qquad a>0,\quad x>0

Ответ:

\begin{aligned}y'={}&x^{x^a}x^{a-1}(a\ln x+1)+x^{a^x}a^x\left(\ln a\,\ln x+\frac1x\right)\\&+a^{x^x}\ln a\,x^x(\ln x+1),\qquad a>0,\quad x>0\end{aligned}

Решение

Каждое слагаемое запишем как экспоненту. Для первого слагаемого

x^{x^a}=\exp\!\left(x^a\ln x\right)

откуда

\left(x^{x^a}\right)'=x^{x^a}x^{a-1}(a\ln x+1)

Аналогично,

x^{a^x}=\exp\!\left(a^x\ln x\right)

поэтому

\left(x^{a^x}\right)'=x^{a^x}a^x\left(\ln a\,\ln x+\frac1x\right)

Наконец,

a^{x^x}=\exp\!\left(x^x\ln a\right)

\left(a^{x^x}\right)'=a^{x^x}\ln a\,x^x(\ln x+1)