Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 942

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

y=\frac{x^6}{1+x^{12}}-\operatorname{arcctg}x^6

Ответ:

y'=\frac{12x^5}{(1+x^{12})^2}, \qquad x\in\mathbb R

Решение

Идея

Функция определена при всех

x\in\mathbb R

. Используем соглашение

\operatorname{arcctg}u\in(0,\pi)

При таком выборе ветви

(\operatorname{arcctg}u)'=-\frac{u'}{1+u^2}

Дифференцируем оба слагаемых:

\begin{aligned} y'&=\frac{6x^5(1+x^{12})-12x^{17}} {(1+x^{12})^2} +\frac{6x^5}{1+x^{12}}=\\ &=\frac{6x^5(1-x^{12})+6x^5(1+x^{12})} {(1+x^{12})^2} =\frac{12x^5}{(1+x^{12})^2}\end{aligned}