Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 937

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

y=x(\arcsin x)^2 +2\sqrt{1-x^2}\,\arcsin x-2x

Ответ:

y'=(\arcsin x)^2, \qquad -1<x<1

Односторонние производные:

y'_+(-1)=y'_-(1)=\frac{\pi^2}{4}

Решение

Проверка

Функция определена на отрезке

D_y=[-1,1]

Рассмотрим внутренние точки этого отрезка и введём обозначения

A=\arcsin x \qquad r=\sqrt{1-x^2}

Тогда

A'=\frac1r \qquad r'=-\frac xr

По правилу произведения

\left(xA^2\right)'=A^2+\frac{2xA}{r}

(2rA)'=-\frac{2xA}{r}+2

Следовательно,

y'=A^2+\frac{2xA}{r}-\frac{2xA}{r}+2-2=A^2

Возвращаясь к исходному обозначению, получаем

y'=(\arcsin x)^2

Обычная двусторонняя производная рассматривается при

-1<x<1

;
точки

x=\pm1

являются концами области определения. Поскольку

\lim_{x\to-1+}y'=\lim_{x\to1-}y'=\frac{\pi^2}{4}

по теореме Лагранжа односторонние производные в концах существуют и
равны

\frac{\pi^2}{4}