Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 937

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

y=x(\arcsin x)^2 +2\sqrt{1-x^2}\,\arcsin x-2x

Ответ:

y'=(\arcsin x)^2, \qquad -1<x<1

Односторонние производные:

y'_+(-1)=y'_-(1)=\frac{\pi^2}{4}

Решение

Функция определена на отрезке

D_y=[-1,1]

Рассмотрим внутренние точки этого отрезка и введём обозначения

A=\arcsin x \qquad r=\sqrt{1-x^2}

Тогда

A'=\frac1r \qquad r'=-\frac xr

По правилу произведения

\left(xA^2\right)'=A^2+\frac{2xA}{r}

(2rA)'=-\frac{2xA}{r}+2

Следовательно,

y'=A^2+\frac{2xA}{r}-\frac{2xA}{r}+2-2=A^2

Возвращаясь к исходному обозначению, получаем

y'=(\arcsin x)^2

Проверим левую производную в точке

1

. Обозначим

p=\pi/2

и положим

x=\cos t

, где

t\to0+

. Тогда

\arcsin x=p-t

\sqrt{1-x^2}=\sin t

y(1)=p^2-2

. Раскрывая квадрат

(p-t)^2

, получаем

\begin{aligned}y(\cos t)-y(1)={}&(p^2-2)(\cos t-1)+2p(\sin t-t\cos t)\\ &+t^2\cos t-2t\sin t.\end{aligned}

Делим на

\cos t-1

. Для среднего слагаемого используем оценку

0\leqslant\sin t-t\cos t\leqslant t(1-\cos t),

которая следует из

t\cos t\leqslant\sin t\leqslant t

. Поэтому его отношение к

\cos t-1

стремится к нулю. Последние два слагаемых дают

\frac{t^2\cos t-2t\sin t}{\cos t-1} =\frac{\cos t-2\sin t/t}{(\cos t-1)/t^2} \longrightarrow\frac{1-2}{-1/2}=2.

Итак,

y'_-(1)=p^2-2+0+2=p^2=\pi^2/4

.

Функция

y

нечётна:

x(\arcsin x)^2

2\sqrt{1-x^2}\arcsin x

-2x

нечётны. Замена

x=-z

в разностном отношении при

x\to-1+

превращает его в уже рассмотренное отношение при

z\to1-

. Следовательно,

y'_+(-1)=\pi^2/4