Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 930

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

y=\operatorname{arctg} x+\frac13\operatorname{arctg}(x^3)

Ответ:

y'=\frac{1+x^4}{1+x^6}, \qquad x\in\mathbb R

Решение

Идея

Обе функции в исходной записи определены на всей числовой прямой.
Применяем формулу производной арктангенса:

y'=\frac1{1+x^2} +\frac13\cdot\frac{3x^2}{1+x^6} =\frac1{1+x^2}+\frac{x^2}{1+x^6}

Приведём дроби к общему знаменателю:

y'=\frac{1+x^6+x^2+x^4} {(1+x^2)(1+x^6)}

Числитель раскладывается на множители:

1+x^2+x^4+x^6=(1+x^2)(1+x^4)

Поэтому

y'=\frac{1+x^4}{1+x^6}