Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 948

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

y=\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}^2x)

Ответ:

y'=\frac{2\operatorname{tg} x(1+\operatorname{tg}^2x)}{1+\operatorname{tg}^4x}, \qquad x\ne\frac\pi2+\pi k, \qquad k\in\mathbb Z

Решение

Идея

Функция определена там, где существует

\operatorname{tg} x

D=\mathbb R\setminus \left\{\frac\pi2+\pi k:k\in\mathbb Z\right\}

По правилу производной сложной функции

\begin{aligned} y'&=\frac{2\operatorname{tg} x(1+\operatorname{tg}^2x)}{1+\operatorname{tg}^4x}=\\ &=\frac{2\sin x\cos x}{\sin^4x+\cos^4x}\end{aligned}